2022-新高考I卷-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及共轭复数的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 若 $\text{i}(1-z)=1$，则 $z+\bar{z}=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解复数方程：将已知方程 $\text{i}(1-z)=1$ 中的 $z$ 分离出来。常用的技巧是两边同时除以 $\text{i}$，并利用 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$。
2. 确定共轭复数：根据解出的 $z=a+b\text{i}$，直接写出其共轭复数 $\bar{z}=a-b\text{i}$。
3. 求和计算：计算 $z+\bar{z}$。

• 技巧点拨：利用性质 $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$（即实部的两倍），可以直接得出结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求复数 $z$ 由 $\text{i}(1-z)=1$，方程两边同时除以 $\text{i}$ 得： $1-z=\frac{1}{\text{i}}$ 利用分母实数化：$\frac{1}{\text{i}}=\frac{1\cdot \text{i}}{\text{i}\cdot \text{i}}=\frac{\text{i}}{-1}=-\text{i}$。 所以，$1-z=-\text{i}$ 解得：$z=1+\text{i}$。

第二步：求共轭复数 $\bar{z}$ 因为 $z=1+\text{i}$， 根据共轭复数的定义（实部不变，虚部变号），得： $\bar{z}=1-\text{i}$。

第三步：计算 $z+\bar{z}$ $z+\bar{z}=(1+\text{i})+(1-\text{i})$ $=1+1+\text{i}-\text{i}$ $=2$。

第四步：得出结论 对比选项，D 选项符合。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数单位 $\text{i}$ 的倒数：$\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 是复数运算中的“快速求解”小结论，建议熟记以提高运算效率。
2. 共轭复数的几何意义：在复平面内，复数 $z$ 与 $\bar{z}$ 关于实轴（$x$ 轴）对称。
3. 常用性质总结：

• $z+\bar{z}=2a$ （结果为实数）
• $z-\bar{z}=2b\text{i}$ （结果为纯虚数或零）
• $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$ （结果为非负实数）

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若本题求的是 $z\cdot \bar{z}$，根据上述结论可知结果为 $1^2+1^2=2$。
• 变式思考：若题目条件改为 $\frac{z}{1-\text{i}}=\text{i}$，求 $z+\bar{z}$ 的值。
  • 提示：$z=\text{i}(1-\text{i})=\text{i}-{\text{i}}^2=1+\text{i}$。结果依然为 $2$。
• 名师寄语：复数运算题是高考的必得分点。处理除法时，分子分母同乘分母的共轭复数是通法，但在处理单位虚数 $\text{i}$ 时，直接转化往往更快捷。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭