2022-新高考I卷-09 多-正方体异面直线

本题导读

本题考查正方体的几何性质，以及异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，则()

A. 直线 $B{C}_1$ 与 $D{A}_1$ 所成的角为 $90^{\circ }$

B. 直线 $B{C}_1$ 与 $C{A}_1$ 所成的角为 $90^{\circ }$

C. 直线 $B{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 所成的角为 $45^{\circ }$

D. 直线 $B{C}_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 判定 A（异面直线角）：利用平移法。在正方体中寻找与 $D{A}_1$ 平行的直线（如 $C{B}_1$），将异面直线角转化为相交直线角。
2. 判定 B（线线垂直）：尝试证明 $B{C}_1$ 垂直于包含 $C{A}_1$ 的某个平面，或利用空间向量数量积为 0 进行判定。
3. 判定 C（线面角）：确定 $C_1$ 到平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的垂足，连接垂足与 $B$，确定线面角的平面角并求其正弦值。
4. 判定 D（线面角）：确定 $C_1$ 到底面 $ABCD$ 的垂足，连接 $BC$，判定 $\angle C_{1}BC$ 是否为 $45^{\circ }$。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

判定 A：异面直线 $B{C}_1$ 与 $D{A}_1$ 在正方体中，$A_1{B}_1//DC$ 且 $A_1{B}_1=DC$，故四边形 $D{A}_1{B}_{1}C$ 是平行四边形。 因此 $D{A}_1//C{B}_1$。 直线 $B{C}_1$ 与 $D{A}_1$ 所成的角即为 $B{C}_1$ 与 $C{B}_1$ 所成的角。 由于 $B{C}_1$ 和 $C{B}_1$ 是正方形 $BC{C}_1{B}_1$ 的两条对角线，显然 $B{C}_1\perp C{B}_1$。 故夹角为 $90^{\circ }$，A 正确。

判定 B：直线 $B{C}_1$ 与 $C{A}_1$ 由 A 可知 $B{C}_1\perp C{B}_1$。 又因 $A_1{B}_1\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，而 $B{C}_1\subset$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，故 $A_1{B}_1\perp B{C}_1$。 因为 $C{B}_1\cap A_1{B}_1=B_1$，所以 $B{C}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_{1}C$。 因为 $C{A}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}C$，所以 $B{C}_1\perp C{A}_1$。 故夹角为 $90^{\circ }$，B 正确。

判定 C：直线 $B{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的夹角 设正方体棱长为 $1$。取 $B_1{D}_1$ 的中点为 $O$。 连接 $C_{1}O$，易知 $C_{1}O\perp B_1{D}_1$ 且 $C_{1}O\perp B_{1}B$，故 $C_{1}O\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$。 则 $BO$ 为 $B{C}_1$ 在平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 上的体现，$\angle C_{1}BO$ 即为所求线面角。 在 $Rt△C_{1}OB$ 中，$C_{1}O=\frac{\sqrt{2}}{2}$（底面对角线的一半），$B{C}_1=\sqrt{2}$（侧面积对角线）。 $\sin \angle C_{1}BO=\frac{C_{1}O}{B{C}_1}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。 故线面角为 $30^{\circ }$，C 错误。

判定 D：直线 $B{C}_1$ 与平面 $ABCD$ 的夹角 因为 $C_{1}C\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $BC$ 为 $B{C}_1$ 在底面上的体现。 $\angle C_{1}BC$ 即为直线 $B{C}_1$ 与底面所成的角。 在等腰直角 $△C_{1}CB$ 中，$\angle C_{1}BC=45^{\circ }$，D 正确。

综上所述，正确选项为 ABD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 异面直线角的“平移”思维：在正方体这种对称性极强的模型中，寻找平行线（如 $D{A}_1//C{B}_1$）是化异面为相交的常规套路。
2. 线面垂直的传递性：证明“线线垂直”最高级的办法是证明“线面垂直”。如 B 项中通过证明 $B{C}_1\perp$ 截面 $A_1{B}_{1}C$ 来得出结论。
3. 线面角的“垂足”定位：求线面角必须先找垂足。在 C 项中，利用正方体顶面的对称性确定 $C_1$ 在对角面上的体现点是解题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于多选题，若几何逻辑推导困难，可建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 进行定量计算。
• 变式思考：若将 C 项中的平面改为 $AC{C}_1{A}_1$，线面角会发生变化吗？（提示：由于对称性，结论应与原题一致）。
• 名师寄语：立体几何不只是“看”出来的，更是“证”出来的。正方体里的每一条对角线都蕴含着丰富的垂直关系，熟记常用的垂直截面能显著提高做题速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1995-全国卷理-23