2022-新高考I卷-14 填-两圆位置关系

本题导读

本题考查圆的标准方程与几何性质，以及两圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 写出与圆 $x^2+y^2=1$ 和 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=16$ 都相切的一条直线的方程 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 提取基本量：

• 圆 $O:x^2+y^2=1$，圆心 $O(0,0)$，半径 $r_1=1$。
• 圆 $C:(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=16$，圆心 $C(3,4)$，半径 $r_2=4$。

2. 判定位置关系：计算圆心距 $|OC|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

• 发现 $5=1+4$，即 $|OC|=r_1+r_2$，两圆外切。

3. 寻找切线策略：外切两圆共有 3 条公切线（2条外公切线，1条内公切线）。

• 策略 A（观察法）：检查圆在四个极值点方向是否有共同的切线。
• 策略 B（内公切线）：求过两圆切点且垂直于连心线 $OC$ 的直线。
• 策略 C（代数法）：设直线方程 $Ax+By+C=0$，联立两个点到直线距离方程求解。

✅【答案】

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$x=-1$ （或其他符合条件的方程）

✍【详细解析】

Abstract

解法一：特殊位置观察法（最快） 观察圆 $O$ 的左侧边缘点为 $(-1,0)$； 观察圆 $C$ 的左侧边缘点，横坐标为 $3-4=-1$。 考虑直线 $x=-1$：

• 圆心 $O(0,0)$ 到 $x=-1$ 的距离 $d_1=|0-(-1)|=1=r_1$，相切。

• 圆心 $C(3,4)$ 到 $x=-1$ 的距离 $d_2=|3-(-1)|=4=r_2$，相切。 故 $x=-1$ 是一条满足条件的直线。

解法二：求内公切线（几何法） 两圆外切，内公切线通过切点且垂直于连心线 $OC$。 连心线 $OC$ 的斜率 $k_{OC}=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$。 故内公切线的斜率 $k=-\frac{1}{k_{OC}}=-\frac{3}{4}$。 设直线方程为 $3x+4y+C=0$。 利用圆 $O$ 的圆心到直线距离 $d=r_1=1$： $\frac{|3(0)+4(0)+C|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1⟹\frac{|C|}{5}=1⟹C=\pm 5$。 由图知，两圆位于第一象限方向，切线应截距为正（在原点上方），通过验证切点位置可确定 $C=-5$。 故 $3x+4y-5=0$ 也是一条满足条件的直线。

解法三：求外公切线（位似中心法） 两圆的外公切线交于外位似中心 $P$。 根据相似三角形性质，点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{OC}$ 的比为 $r_1:r_2=1:4$（外分）。 利用定比分点公式或向量法可求得 $P$ 点坐标，再设过 $P$ 的直线利用距离公式即可求得另一条外公切线 $7x-24y-25=0$。

故答案可填：$x=-1$ （或其他符合条件的方程）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 位置关系决定切线数量：

• 外离：4条； 外切：3条； 相交：2条； 内切：1条； 内含：0条。

2. “写出一条”的特殊技巧：填空题中若出现“写出一条”，通常预示着存在特殊位置（平行于坐标轴）的简单解。优先画图观察圆的“边缘点”坐标。
3. 计算稳健性：求内公切线时，利用斜率垂直关系（$k_1{k}_2=-1$）是常规且高效的代数路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于两圆公切线问题，若要求出所有方程，建议使用位似中心法。两圆半径不等时，外公切线交于外位似中心，内公切线交于内位似中心。
• 变式思考：若题目改为“两圆相交”，如何快速判定公切线的斜率范围？
• 名师寄语：解析几何不离图。看到两个圆，先算圆心距，再画草图。很多时候，一眼看出来的“特殊线”比算出来的“万能公式”更靠谱。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理