2023-乙卷理-09 单-二面角线面角

本题导读

本题考查二面角，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）已知 $△ABC$ 为等腰直角三角形，$AB$ 为斜边，$△ABD$ 为等边三角形，若二面角 $C-AB-D$ 为 $150^{\circ }$，则直线 $CD$ 与平面 $ABC$ 所成角的正切值为（　　）

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{5}$ 　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{5}$　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造二面角的平面角：取交线 $AB$ 的中点 $E$，利用等腰三角形和等边三角形的性质，证明 $\angle CED$ 即为二面角 $C-AB-D$ 的平面角。

2. 确定线面角：证明平面 $CDE\perp$ 平面 $ABC$，从而确定直线 $CD$ 在平面 $ABC$ 上的射影为 $CE$，即所求角为 $\angle DCE$。

3. 解三角形：设定边长（如 $AB=2$），在 $△CDE$ 中利用余弦定理求出 $CD$，再利用正弦定理求出 $\sin \angle DCE$，最终求得正切值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

取$AB$的中点$E$，连接$CE,DE$，

因为$△ABC$是等腰直角三角形，且$AB$为斜边，则有$CE\perp AB$，

又$△ABD$是等边三角形，则$DE\perp AB$，

从而$\angle CED$为二面角$C-AB-D$的平面角，

即$\angle CED={150}^{\circ }$，显然$CE\cap DE=E,CE,DE\subset$平面$CDE$，

于是$AB\perp$平面$CDE$，又$AB\subset$平面$ABC$，

因此平面$CDE\perp$平面$ABC$，

显然平面$CDE\cap$平面$ABC=CE$，

直线$CD\subset$平面$CDE$，则直线$CD$在平面$ABC$内的射影为直线$CE$，

从而$\angle DCE$为直线$CD$与平面$ABC$所成的角，

令$AB=2$，则$CE=1,DE=\sqrt{3}$，在$△CDE$中，由余弦定理得：

$CD=\sqrt{C{E}^2+D{E}^2-2CE\cdot DE\cos \angle CED}=\sqrt{1+3-2\times 1\times \sqrt{3}\times (-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\sqrt{7}$，

由正弦定理得$\frac{DE}{\sin \angle DCE}=\frac{CD}{\sin \angle CED}$，

即$\sin \angle DCE=\frac{\sqrt{3}\sin {150}^{\circ }}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，

显然$\angle DCE$是锐角，

$\cos \angle DCE=\sqrt{1-{\sin }^2\angle DCE}=\sqrt{1-{(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}})}^2}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$，

所以直线$CD$与平面$ABC$所成的角的正切为$\frac{\sqrt{3}}{5}$.

故选：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共享棱中点法构造二面角平面角、利用线面垂直的传递性证明面面垂直、空间线面角在射影下的精确定位。
2. 核心方法：截面化归法、解非直角三角形法。
3. 避坑指南：

• 混淆线面角的三角函数关系（高频翻车点）：部分考生在确定了所求角为 $\angle DCE$ 后，误以为 $△CDE$ 是直角三角形，直接 $\tan \angle DCE=\frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。务必注意， $\angle CED=150^{\circ }$ 明确指出了这是一个钝角三角形，绝对不能滥用直角三角比，必须严格通过正余弦定理进行两步走求值。
• 余弦定理计算时符号弄错：在代入 $\cos 150^{\circ }$ 时，由于其值为负，公式中的负号与余弦值的负号相乘会“负负得正”变成加项（$+3$）。如果粗成了减项（$1+3-3=1$），会直接导致全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第九题，属于立体几何几何体度量中的常考中档选择题。母题构型融合了人教A版教材《必修第二册》第八章“面面垂直的性质”与《选择性必修第一册》第一章“利用空间向量或传统方法求线面角”的综合探究。命题立意精妙，将看似需要建立空间直角坐标系的繁琐问题，通过“经典截面”转化为纯粹的平面解三角形，侧重考查考生的空间简化化归素养。
2. 结论推广： 在立体几何的“折页面模型”（两个多边形共享一条棱，并在空间发生翻折转动）中，本题可以推广为一个通用的**“共享底边双等腰面线面角定理”**： 设 $△ABC$ 与 $△ABD$ 共享底边 $AB$。其中 $CE\perp AB$ 于 $E$ 且长度为 $h_1$； $DE\perp AB$ 于 $E$ 且长度为 $h_2$。若已知二面角 $C-AB-D$ 的平面角为 $\theta (\theta \in (0,\pi ))$。 通过相同的面面垂直射影证明与正、余弦定理推导，斜线 $CD$ 与底面平面 $ABC$ 所成角 $\phi$ 的正切值满足通用的常数显化公式： $\tan \phi =\frac{h_2\sin \theta }{h_1-h_2\cos \theta }$

在本题中，我们直接套用这一推广通式快速验证： 已知等腰直角中线高 $h_1=CE=1$，等边三角形高 $h_2=DE=\sqrt{3}$，二面角 $\theta =150^{\circ }$。代入通式： $\tan \phi =\frac{\sqrt{3}\times \sin 150^{\circ }}{1-\sqrt{3}\times \cos 150^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{1}{2}}{1-\sqrt{3}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{3}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$ 掌握这一通用的折页截面线面角模型，不仅能在考场上替代繁琐的空间建系求法向量过程，更揭示了空间倾斜度在二维射影面上的代数结构本质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2014-天津卷文-17 解-四棱锥线面角
• 2014-广东卷理-12 填-余弦定理