2023-乙卷理-13 填-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程，以及焦半径与准线。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）已知点 $A(1,\sqrt{5})$ 在抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求参数 $p$：将已知点 $A(1,\sqrt{5})$ 的坐标代入抛物线方程，解出 $2p$ 及 $p$ 的值。

2. 确定准线方程：对于标准方程 $y^2=2px$，其准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。

3. 计算距离：利用点 $A$ 的横坐标减去准线的横坐标（或者利用抛物线定义：点到准线距离等于点到焦点距离）求解。

✅【答案】

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$\frac{9}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求抛物线方程：

因为点 $A(1,\sqrt{5})$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，

代入坐标得：$(\sqrt{5}{)}^2=2p\times 1$．

即 $5=2p$，解得 $p=\frac{5}{2}$．

所以抛物线的标准方程为 $y^2=5x$．

2. 确定准线方程：

抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$．

代入 $p=\frac{5}{2}$，得准线方程为：

$x=-\frac{5}{4}$

3. 计算点到准线的距离：

点 $A$ 的横坐标为 $x_A=1$．

点 $A$ 到准线 $x=-\frac{5}{4}$ 的距离 $d$ 为：

$d=x_A-\left(-\frac{p}{2}\right)=1-\left(-\frac{5}{4}\right)=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}$

．

另解（定义法验证）：

焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{5}{4},0)$．

根据抛物线定义，点 $A$ 到准线的距离等于点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离：

$|AF|=\sqrt{(1-\frac{5}{4}{)}^2+(\sqrt{5}-0{)}^2}=\sqrt{(-\frac{1}{4}{)}^2+5}=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{80}{16}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{9}{4}$．

结论：

答案填入 $\frac{9}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点在曲线上坐标恒等代入的算理、抛物线几何定义（点到准线距离与点到焦点距离的等价性）、基于标准开口方向的焦半径代数式。
2. 核心方法：待定系数消元法、几何定义转化法。
3. 避坑指南：

• 混淆 $2p$ 与 $p$ 的代数系数（高频翻车点）：在第一步代入坐标后，可得 $2p=5$。很多考生由于粗心，在草稿纸上容易把 $p$ 当成 $5$ 来算，导致后面算准线时错算成 $\frac{5}{2}$。务必分清标准方程中的系数是 $2p$。
• 准线方程方向或正负号写错：对于 $y^2=2px$（开口在 $x$ 轴方向），准线是垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-\frac{p}{2}$；如果误记成 $y=-\frac{p}{2}$ 或者是把负号丢掉，就会导致全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学填空题的第一题（第13题），属于无任何干扰项、纯粹考查圆锥曲线底层基本功的“送分题”。母题模型直接来源于人教A版教材《选择性修修第一册》第三章“抛物线及其几何性质”的课后基础填空。命题立意平和，旨在考查考生对抛物线核心性质公式的提取与计算速度。
2. 结论推广： 在平面解析几何中，抛物线的核心定义引申出的**“焦半径/准线跨度统一模型”**具有高度的对称美：

• 当抛物线方程为 $y^2=\pm 2px$ （焦点在 $x$ 轴）时，图像上动点 $M(x_0,y_0)$ 到准线的垂直距离恒为： $d=|x_0|+\frac{p}{2}$
• 当抛物线方程为 $x^2=\pm 2py$ （焦点在 $y$ 轴）时，图像上动点 $M(x_0,y_0)$ 到准线的垂直距离恒为： $d=|y_0|+\frac{p}{2}$ 内化这一绝对值测度守恒模型，可以帮助考生在未来的模拟题或高考题中，面对更复杂的动直线切圆锥曲线、或者抛物线光学性质等压轴解答题时，实现客观边界条件的零算量快速求解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-湖南卷理-04 单-线性规划