2024-新高考I卷-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的方程求解. 核心意图是要求学生利用复数的运算法则，通过移项、提取公因式以及分母实数化等步骤，将关于 $z$ 的分式方程转化为 $z=a+bi$ 的形式.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）若 $\frac{z}{z-1}=1+i$，则 $z$ = ()

A. $-1+i$　　　　B. $-1-i$　　　　C. $1-i$　　　　D. $1+i$

🔍【思路分析】

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1. 去分母：将分式方程转化为整式方程，即 $z=(1+i)(z-1)$.
2. 展开并整理：展开右侧乘积项，将所有含 $z$ 的项移至等号左侧，常数项移至右侧.
3. 提取公因式：变形为 $z\cdot (\text{复数})=\text{复数}$ 的形式.
4. 分母实数化：通过除法运算求出 $z$，注意分子分母同乘共轭复数.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意得： $z=(1+i)(z-1)$ 展开右边： $z=(1+i)z-(1+i)$ 移项整理： $(1+i)-z=(1+i)z-z$ $(1+i)z-z=1+i$ $z(1+i-1)=1+i$ $iz=1+i$ 两边同时除以 $i$（或分子分母同时乘 $-i$）： $z=\frac{1+i}{i}$ $z=\frac{(1+i)(-i)}{i(-i)}$ $z=\frac{-i-i^2}{1}$ $z=\frac{-i+1}{1}$ $z=1-i$. 故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数方程的整式化变形、复数的四则运算、复数相等的充要条件。
2. 核心方法：方程整体代换与复数消元法。处理关于复数 $z$ 的分式方程或一元线性方程时，不需要将 $z$ 盲目设为 $a+bi$ 代入暴力展开，而是直接将其视为一个代数整体进行移项、提公因式，最后通过一步复数除法（分母实数化）完成求解，这是一种能够大幅降低运算能力负载的高效解题技术。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（移项去括号时符号看错）：在将 $(1+i)z$ 移项至左侧时，注意整个因式整体变号，即 $1-(1+i)=-i$。部分考生容易粗心算成 $1-1+i=i$，导致系数符号发生方向性漂移。
• 避坑指南 2（设 $z=a+bi$ 导致运算冗余）：虽然设 $z=a+bi$ 联立方程组属于复数相等的通性通法，但在本题的分式结构下，强行代入展开会催生出二元一次方程组，增加了草稿纸上的书写负担与计算出错率。考场上应优先尝试整体求解流。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第二册第七章《数系扩充与复数》中“复数的四则运算”章节后的基础巩固习题。命题组通过将传统的直接复数除法（如求 $z=\frac{A}{B}$）逆向包装为一个分式方程，考查考生对代数方程底层化简逻辑的逆向解构能力。
2. 结论推广: 将此类分式方程模型提炼为一般模型：设已知方程满足 $\frac{z}{z-d}=\omega$（其中 $\omega ,d$ 为复常数且 $\omega \ne 1$）。经过通用代数移项合并，其解 $z$ 恒满足极规整的同构映射公式：$z=\frac{d\omega }{\omega -1}$本题中由于 $d=1,\omega =1+i$，代入本题数据验证：$z=\frac{1\cdot (1+i)}{(1+i)-1}=\frac{1+i}{i}=\frac{1}{i}+1=-i+1=1-i$。公式化的规律能。
3. 方法推广: 本题所展现的将未知复数 $z$ 视为代数整体、利用方程移项消元求解的技术，不仅适用于简单的分式方程，还能广泛平移泛合至更复杂的复数方程（如含有共轭复数 $\bar{z}$ 的复合方程 $Az+B\bar{z}=C$）或矩阵特征值的多项式化简中。其技术本质在于利用复数域对四则运算的封闭性，维持一元一次方程的结构稳定性。将这一套整体消元流化为解题第一反应，是确保高考客观题前 3 题基础送分题实现“零失误、秒通关”的刚性核心技术底座。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算