2025-天津卷-10 填-复数

本题导读

本题考查复数模的计算。通过复数的除法运算或利用复数模的商等于商的模这一性质，快速准确地求解复数的模，是天津卷复数板块的常规基础填空题.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）已知 $i$ 是虚数单位，则 $\left|\frac{3+i}{i}\right|=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

本题有两种主流解法，均围绕复数的基础定义展开：

1. 常规化简法：利用复数的除法法则，分子分母同乘以 $-i$ 或 $i$，将分母实数化，化为 $a+bi$ 的形式后根据模的定义 $\sqrt{a^2+b^2}$ 求解.
2. 性质优化法：利用复数模的性质 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 直接进行拆分计算。这种方法在填空题中效率最高，能有效避免代数化简中的符号错误.

✅【答案】

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$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

代数形式化简法（常规法）

1. 处理复数的除法： 分子分母同时乘以 $-i$（即分母 $i$ 的共轭复数）： $\frac{3+i}{i}=\frac{(3+i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i-i^2}{-i^2}$
2. 利用 $i^2=-1$ 简化： $\frac{-3i-(-1)}{1}=1-3i$
3. 计算化简后复数的模： $\left|1-3i\right|=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$.

其他精彩解法

模的性质法（推荐法） 利用性质 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$，原式可直接变形为： $\left|\frac{3+i}{i}\right|=\frac{|3+i|}{|i|}$

1. 分别计算分子和分母的模：

• 分子：$|3+i|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
• 分母：$|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$

2. 相除得出结果： $\frac{\sqrt{10}}{1}=\sqrt{10}$. 故填：$\sqrt{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 共轭复数：若 $z=a+bi$，则 $\bar{z}=a-bi$，且 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$.

2. 方法总结：

• 基础运算能力：复数的加减乘除是高考的必考送分点，要求 100% 的准确率.

• 性质应用的灵活性：熟练掌握 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ 和 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 可以极大程度避开繁琐的化简过程.

3. 避坑指南：

• 记住虚数单位 $i$ 的模 $|i|=1$.
• 在化简法中，注意 $-i^2=-(-1)=1$ 的符号变换.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 对于更复杂的复数式，如 $\left|\frac{(1+i{)}^n}{(1-i{)}^m}\right|$，利用性质法可化为 $\frac{|1+i{|}^n}{|1-i{|}^m}=\frac{(\sqrt{2}{)}^n}{(\sqrt{2}{)}^m}=(\sqrt{2}{)}^{n-m}$.

2. 方法的推广:

• 几何意义法：$|z|$ 表示复平面上点 $z$ 到原点的距离。$\frac{3+i}{i}=-3i+1$ 对应的点为 $(1,-3)$，其到原点的距离即为 $\sqrt{10}$.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义