2026-北京卷-19 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆方程的求解以及直线与椭圆相交的综合几何最值问题。第一问通过顶点和离心率直接锁定标准方程；第二问在直线 $y=x$ 上引入公共底边，将两个三角形的面积差转化为两交点到对称轴的有向距离之差，通过联立方程、韦达定理以及对称点的代数变换完成高难度的整体消元，最终精确反解出直线的斜率。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的一个顶点是 $(2,0)$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 过点 $A(1,1)$ 作斜率为 $k$ ($k\ne \pm 1$) 的直线交 $E$ 于 $B,C$ 两点.设 $D$ 为 $B$ 关于直线 $y=x$ 的对称点，直线 $DC$ 交 $y=x$ 于点 $Q$.若 $|S_{△ABQ}-S_{△ACQ}|=\frac{5}{8}$，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：

• 顶点 $(2,0)$ 位于 $x$ 轴上，可知实半轴 $a=2$。
• 已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⟹c=1$。
• 由 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$，直接写出标准方程。

2. 第二问分析：

• 几何结构化简：观察点 $A(1,1)$，其满足 $y=x$，说明点 $A$ 在一、三象限角平分线上。点 $Q$ 作为直线与 $y=x$ 的交点，必然也在直线 $y=x$ 上。
• 因此， $△ABQ$ 与 $△ACQ$ 拥有共同的底边线段 $AQ$，且该底边完全落在直线 $y=x$ 上。
• 两个同底三角形的面积之差，其本质完全由点 $B$ 和点 $C$ 到直线 $y=x$ 的“有向距离”决定： $|S_{△ABQ}-S_{△ACQ}|=\frac{1}{2}|AQ|\cdot |d_B-d_C|$。
• 设直线 $BC$ 方程为 $y-1=k(x-1)$，与椭圆方程联立，写出关于两根 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$ 的韦达定理。
• 利用对称性写出点 $D(y_1,x_1)$ 的坐标，联立直线 $DC$ 与 $y=x$ 求解点 $Q$ 的具体坐标，最终代入面积差公式进行代数消元化简，解出 $k$。

✅【答案】

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$\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆 $E$ 的方程

由题意，椭圆的一个顶点是 $(2,0)$，可知该椭圆焦点在 $x$ 轴上，且： $a=2$ 已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，将 $a=2$ 代入得： $c=1$ 根据$b^2=a^2-c^2$，得： $b^2=2^2-1^2=3$

所以，椭圆 $E$ 的标准方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

(2) 求 $k$ 的值

点 $A(1,1)$ 在直线 $y=x$ 上，直线 $DC$ 与 $y=x$ 交于点 $Q$。 因此， $△ABQ$ 与 $△ACQ$ 以线段 $AQ$（落在直线 $y=x$ 上）为公共底边。 设直线 $BC$ 的斜率为 $k$ ($k\ne \pm 1$)，且过点 $A(1,1)$，其方程可表示为： $y-1=k(x-1)⟹y=kx+1-k$

联立直线 $BC$ 与椭圆 $E$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+1-k\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}⟹3x^2+4(kx+1-k{)}^2=12$ 展开并合并同类项，得到关于 $x$ 的一元二次方程： $(3+4k^2)x^2+8k(1-k)x+4(1-k{)}^2-12=0$

设 $B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{-8k(1-k)}{3+4k^2},x_1{x}_2=\frac{4(1-k{)}^2-12}{3+4k^2}$

因为点 $D$ 为点 $B(x_1,y_1)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点，根据轴对称的代数特征，坐标对调： $D(y_1,x_1)$ 设点 $Q$ 的坐标为 $(q,q)$。因为 $Q,D,C$ 三点共线，故斜率满足 $k_{QD}=k_{CD}$： $\frac{q-x_1}{q-y_1}=\frac{y_2-x_1}{x_2-y_1}$ 利用点 $B,C$ 在直线 $BC$ 上，解得点 $Q$ 的横坐标为： $q=\frac{13k+11}{2(4k+3)}$

结合公共底边 $AQ$ 上的距离公式， $|S_{△ABQ}-S_{△ACQ}|=\frac{5|1-k^2|}{2(3+4k^2)}$

题目已知面积差等于 $\frac{5}{8}$，建立关于 $k$ 的代数方程： $\frac{5|1-k^2|}{2(3+4k^2)}=\frac{5}{8}$ 两边同时约去 5，并交叉相乘去分母： $4|1-k^2|=3+4k^2$

下面对绝对值号内的代数式进行分类讨论：

• 情形一：当 $|k|\le 1$ 时， $1-k^2\ge 0$，去绝对值号符号保持不变： $4(1-k^2)=3+4k^2$ $4-4k^2=3+4k^2⟹8k^2=1⟹k^2=\frac{1}{8}$ 解得： $k=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ 经检验， $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ 满足条件 $|k|\le 1$ 且满足判别式限制。

• 情形二：当 $|k|>1$ 时， $1-k^2<0$，去绝对值号需翻转符号： $4(k^2-1)=3+4k^2$ $4k^2-4=3+4k^2⟹-4=3(\text{矛盾，方程无解})$

综上所述，满足条件的 $k$ 值为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$。

故答案为： $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：标准椭圆几何参量的待定系数求解；一元二次方程韦达定理的代数控算；关于 $y=x$ 轴对称点的坐标对调特征；同底三角形面积差的有向距离转换。
2. 核心方法：公共底边割补消元法、分类讨论去绝对值法。
3. 避坑指南：

• 盲目求解点 $Q$ 的坐标导致运算过载：本题最大的代数难点在求点 $Q(q,q)$ 的代数式。直接用两点式写出 $DC$ 直线方程再去与 $y=x$ 联立，会产生包含 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 四个变量的极其混乱的分式。必须在列式后立即利用 $y_1=k{x}_1+1-k$ 和 $y_2=k{x}_2+1-k$ 将所有纵坐标全部强制降维转化为横坐标 $x_1,x_2$，再配凑出韦达定理的整体结构进行代入，这是攻克该解析几何压轴题的核心代数突破口。
• 去绝对值时忽略单侧边界：在解方程 $4|1-k^2|=3+4k^2$ 时，务必分为 $|k|\le 1$ 和 $|k|>1$ 两类严格讨论，防止错漏或产生无解分支的逻辑混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是高考全国卷及各自主命题省份理科数学中难度最高的解析几何压轴大题。题目将解析几何的两大核心难点——“动直线联立韦达定理”与“轴对称几何结构”完美糅合，对学生的代数抗挫折与精细控算能力进行了极限测试。
2. 结论推广： 本题中“点 $B$ 关于 $y=x$ 的对称点 $D$ 与点 $C$ 连线与对称轴交点 $Q$”的几何几何构型，在射影几何中具有深刻的**偏极化性质（Polarity property）**背景。一般地，若定点 $A$ 落在椭圆内特定的对称轴线上，过 $A$ 的动割线所引出的这类交错对称弦相交问题，其面积差或特定线段比例在经过韦达定理的齐次消元后，均可恒等化简为关于斜率平方 $k^2$ 的标准有理分式形态，这为攻克一类圆锥曲线动态对称最值问题提供了统一的代数解析路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质