2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角

本题导读

本题考查异面直线所成角，以及空间向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$A{A}_1=2$，$AC=BC=1$，则异面直线 $A_{1}B$ 与 $AC$ 所成角的大小是 $\underline{}$.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\angle ACB=90^{\circ }$ 且侧棱垂直底面，以 $C$ 为原点、$CA$、$CB$、$C{C}_1$ 为坐标轴建系。
2. 写出 $A_1$、$B$ 坐标，求 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 与 $\overrightarrow{AC}$。
3. 异面直线所成角取锐角（或直角），用夹角公式：$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}||\overrightarrow{AC}|}$。

✅【答案】

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$\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $C$ 为原点，令 $A=(1,0,0)$，$B=(0,1,0)$，则可取 $A_1=(1,0,2)$．因而 $\overrightarrow{A_{1}B}=(-1,1,-2),\overrightarrow{AC}=(-1,0,0).$ 设异面直线 $A_{1}B$ 与 $AC$ 所成的锐角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}.$ 所以 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角

核心方法：建系求两向量夹角的绝对值

避坑指南：异面直线所成角的范围是 (0,π/2]，公式带绝对值；结果用反三角表示时写 arccos(√6/6)，不能写钝角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”异面直线及其所成角的向量解法”

结论推广：cosθ=|cos<a,b>|，θ∈(0,π/2]

方法推广：有垂直条件优先建系；所成角与向量夹角相差”取绝对值”一步

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2010-大纲卷I文-06 单-异面直线所成角
• 2010-天津卷文-19 解-异面直线角与二面角
• 2010-大纲卷II文-19 解-直三棱柱公垂线与二面角
• 2010-四川卷文-18 解-正方体公垂线二面角