2007-上海卷文-13 单-圆关于直线对称

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及点关于直线的对称点。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 圆 $x^2+y^2-2x-1=0$ 关于直线 $2x-y+3=0$ 对称的圆的方程是 ()

A. $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　B. $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=\frac{1}{2}$

C. $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=2$　　　　　　　　　　　　D. $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=2$

🔍【思路分析】

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1. 圆关于直线的对称圆：半径不变，只求圆心的对称点。
2. 原圆配方：$(x-1{)}^2+y^2=2$，圆心 $(1,0)$，半径 $\sqrt{2}$。
3. 用点关于直线对称的公式（或中垂线方程组）求对称点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

原圆方程可化为 $(x-1{)}^2+y^2=2,$ 所以圆心为 $O=(1,0)$，半径为 $\sqrt{2}$．设 $O$ 关于直线 $2x-y+3=0$ 的对称点为 $O^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$．由点关于直线的对称公式， $x^{\prime }=1-2\cdot \frac{2(2\cdot 1-0+3)}{2^2+(-1{)}^2}=-3,$ $y^{\prime }=0-2\cdot \frac{(-1)(2\cdot 1-0+3)}{2^2+(-1{)}^2}=2.$ 对称后的圆半径不变，故方程为 $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=2.$ 因此选 C． （检验：$O{O}^{\prime }$ 的中点 $(-1,1)$ 代入直线 $2x-y+3=-2-1+3=0$ 成立，且 $O{O}^{\prime }$ 斜率为 $\frac{2-0}{-3-1}=-\frac{1}{2}$，与直线斜率 $2$ 互为负倒数，对称正确。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆关于直线对称

核心方法：圆心求对称点，半径不变

避坑指南：对称圆只动圆心不动半径；配方找圆心时 x²+y²-2x-1=0 配成 (x-1)²+y²=2，常数项 -1 参与配方，别把半径算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”点关于直线的对称点”

结论推广：点 (x₀,y₀) 关于 Ax+By+C=0 的对称点公式，或用”中点在直线上+连线垂直”方程组

方法推广：对称问题完成后用中点与斜率双条件回检，30 秒避免符号错

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-07 填-圆心到直线距离
• 2010-天津卷文-14 填-圆的方程相切
• 2010-新课标卷文-13 填-圆的切线方程