2007-北京卷理-11 填-三角形内角定理

本题导读

本题考查解三角形。题目给出了一个钝角、一条边以及另一个角的正切值。核心在于首先通过同角三角函数关系将 $\tan A$ 转化为 $\sin A$，再利用三角形内角和定理配合正弦定理直接求出目标边 $AB$ 的长度。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 $\tan A=\frac{1}{3}$， $C=150^{\circ }$， $BC=1$，则 $AB=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定角 $A$ 的三角函数值：

• 已知 $\tan A=\frac{1}{3}>0$，说明角 $A$ 是锐角。
• 利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 以及 $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{1}{3}⟹\cos A=3\sin A$。
• 代入求出 $\sin A$ 的精确值。

2. 应用正弦定理建立边角关系：

• 题目中已知大角 $C=150^{\circ }$ 及其对边 $AB$（待求），以及已知角 $A$ 及其对边 $BC=1$。
• 根据正弦定理通式： $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$。

3. 移项解出目标边长：代入已知数据求值。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{10}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，根据同角三角函数的基本商数关系， 由 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{1}{3}$ 可得： $\cos A=3\sin A$

因为在 $△ABC$ 中， 钝角 $C=150^{\circ }$， 根据三角形内角和定理， 另外两个内角之和满足 $A+B=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$。 由此判定角 $A$ 必然是一个锐角， 故 $\sin A>0,\cos A>0$。 将 $\cos A=3\sin A$ 代入平方恒等式 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 中： ${\sin }^{2}A+(3\sin A{)}^2=1⟹{\sin }^{2}A+9{\sin }^{2}A=1⟹10{\sin }^{2}A=1$ 解得正弦值为： $\sin A=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

在 $△ABC$ 中， 已经明确知晓了： $BC=1,C=150^{\circ },\sin A=\frac{1}{\sqrt{10}}$ 根据正弦定理， 三角形各边与其对角的正弦值成正比： $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

移项， 将待求边 $AB$ 孤立到等式左侧并代入各已知数据分量： $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{1\times \sin 150^{\circ }}{\frac{1}{\sqrt{10}}}$

根据诱导公式， $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$。 代入式中进行无理数分式化简： $AB=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{2}\times \sqrt{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：已知正切值求解正弦值的代数技巧（直角三角形构造或平方和公式）、正弦定理在“已知两角与一边求对边”中的标准应用。
2. 核心 method：正弦定理边角换算乘法法。
3. 避坑指南：

• 求解 $\sin A$ 时，千万注意通过三角形内角和大前提判定符号。由于 $C=150^{\circ }$， $A$ 只能是小于 30° 的锐角， 故 $\sin A$ 与 $\cos A$ 锁死为正数。

• 也可以通过**直角三角形构造法（勾股弦法）**快速口算 $\sin A$：既然 $\tan A=\frac{1}{3}$，视对边为 1，邻边为 3，则斜边为 $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，直接得出 $\sin A=\frac{1}{\sqrt{10}}$。此法在考场填空题中速度极快。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修五解三角形章节中正弦定理的基础考查，属于经典常考题型。

2. 结论推广: 在任意三角形中， 若已知 $\tan A=k$ ($k>0$) 且角 $A$ 为锐角， 则其正弦值对应固定通式恒为 $\sin A=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.01 正弦定理
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式