2007-四川卷文-07 单-等差数列基本量求和

本题导读

本题考查等差数列的通项，以及等差数列的前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_3+a_5=14$，其前 $n$ 项和 $S_n=100$，则 $n=$ ()

A. 9　　　　　　　B. 10　　　　　　　C. 11　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差中项：$a_3+a_5=2a_4=14$，$a_4=7$。
2. $d=\frac{a_4-a_1}{4-1}=\frac{6}{3}=2$。
3. $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n+n(n-1)=n^2$。
4. $n^2=100$ 且 $n$ 为正整数，$n=10$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列的性质，$a_3+a_5=2a_4=14$，故 $a_4=7$． 又 $a_1=1$，故公差 $d=\frac{a_4-a_1}{4-1}=\frac{6}{3}=2$． 前 $n$ 项和 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n+n(n-1)=n^2$． 由 $S_n=100$ 得 $n^2=100$，$n$ 为正整数，故 $n=10$． 选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量求和

核心方法：$a_3+a_5=2a_4=14$ 得 $a_4=7$，$d=2$；$S_n=n^2=100$，$n=10$

避坑指南：等差中项 $2a_4=a_3+a_5$ 省去解 $d$ 的一步；$S_n=n^2$ 是缺常数项的二次式，开方取正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量运算源于教材例题改编，属送分题定位

结论推广：若 $S_n=p{n}^2+qn$ 型，则 $\{a_n\}$ 为等差，公差 $2p$

方法推广：等差数列小题用中项性质 $2a_m=a_{m-k}+a_{m+k}$ 快速定基本量

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2014-四川卷文-19 解-等差等比数列
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和