2007-四川卷文-19 解-面面垂直二面角与体积

本题导读

本题考查面面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 如图，平面 $PCBM\perp$ 平面 $ABC$，$PCBM$ 是直角梯形，$\angle PCB=90^{\circ }$，$PM\parallel BC$，直线 $AM$ 与直线 $PC$ 所成的角为 $60^{\circ }$，又 $AC=1$，$BC=2PM=2$，$\angle ACB=90^{\circ }$．

(1) 求证：$AC\perp BM$；

(2) 求二面角 $M-AB-C$ 的大小；

(3) 求多面体 $PMABC$ 的体积．

🔍【思路分析】

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1. 建系：$C(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$A(0,1,0)$，平面 $PCBM$ 为 $xOz$ 面；由 $PM\parallel BC$ 且 $PM=1$，设 $P(0,0,h)$，$M(1,0,h)$。
2. $AM$ 方向 $(1,-1,h)$ 与 $PC$ 方向 $(0,0,h)$ 成 $60^{\circ }$：$\frac{h^2}{h\sqrt{h^2+2}}=\frac{1}{2}$，得 $h^2=\frac{2}{3}$。
3. (1) $\overrightarrow{AC}=(0,-1,0)$，$\overrightarrow{BM}=(-1,0,h)$，数量积为 0，垂直得证。
4. (2) 平面 $MAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(-h,-2h,-1)$，平面 $ABC$ 的法向量 $(0,0,1)$，$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5h^2+1}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$。
5. (3) $S_{PCBM}=\frac{BC+PM}{2}\cdot PC=\frac{3}{2}h$；由 $AC\perp$ 平面 $PCBM$，$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}h\cdot 1=\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) $\arccos \frac{\sqrt{39}}{13}$；(3) $V=\frac{\sqrt{6}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由平面 $PCBM\perp$ 平面 $ABC$，且两平面的交线为 $BC$，可令平面 $ABC$ 为 $xOy$ 面、平面 $PCBM$ 为 $xOz$ 面． 由 $\angle ACB=90^{\circ }$，$AC=1$，$BC=2$，取 $C=(0,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$A=(0,1,0)$． 由 $\angle PCB=90^{\circ }$，设 $P=(0,0,h)$（$h>0$）；由 $PM\parallel BC$ 且 $BC=2PM=2$ 得 $PM=1$，故 $M=(1,0,h)$． (1) 直线 $PC$ 的方向向量 $\vec{u}=(0,0,h)$，直线 $AM$ 的方向向量 $\vec{v}=(1,-1,h)$．由两直线所成的角为 $60^{\circ }$， $\cos 60^{\circ }=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{h^2}{h\sqrt{h^2+2}}=\frac{h}{\sqrt{h^2+2}}$， 故 $4h^2=h^2+2$，解得 $h^2=\frac{2}{3}$． $\overrightarrow{AC}=(0,-1,0)$，$\overrightarrow{BM}=(-1,0,h)$，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BM}=0$，故 $AC\perp BM$． (2) $\overrightarrow{AB}=(2,-1,0)$，$\overrightarrow{AM}=(1,-1,h)$．取平面 $MAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(-h,-2h,-1)$， 平面 $ABC$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(0,0,1)$．设二面角 $M-AB-C$ 的大小为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{5h^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{13}{3}}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$． 所以二面角 $M-AB-C$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{39}}{13}$． (3) 四边形 $PCBM$ 是以 $BC$、$PM$ 为两底的直角梯形，高为 $PC=h$，故 $S_{PCBM}=\frac{BC+PM}{2}\cdot PC=\frac{3}{2}h$． 由平面 $PCBM\perp$ 平面 $ABC$，且 $AC\perp BC$，可知 $AC\perp$ 平面 $PCBM$，故以梯形 $PCBM$ 为底、点 $A$ 为顶点的多面体 $PMABC$ 的高为 $AC=1$， $V_{PMABC}=\frac{1}{3}{S}_{PCBM}\cdot AC=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}h\cdot 1=\frac{h}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$． 【注】原卷题干未印出条件”平面 $PCBM\perp$ 平面 $ABC$“，但第 (2)(3) 问在该条件下才有定解，答案册解析与通行版本均含此条件，故按通行版本补录并在此说明．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直二面角与体积

核心方法：$AM$ 与 $PC$ 成 $60^{\circ }$ 定 $h^2=\frac{2}{3}$；$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BM}=0$；$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}h\cdot 1=\frac{\sqrt{6}}{6}$

避坑指南：梯形 $PCBM$ 以 $BC$、$PM$ 为底、$PC$ 为高，$S=\frac{2+1}{2}h$ 别丢 $h$；$AC\perp$ 平面 $PCBM$ 由面面垂直加 $AC\perp BC$ 推出，是多面体体积的高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直棱锥综合题与四川理 19 题同源，条件由理科的四棱锥简化为梯形折面

结论推广：体积 $V=\frac{1}{3}Sh$ 中，梯形底面、顶点转化（换底）是通用技巧

方法推广：探索性立几大题建系三步：定基准面、设参数点、由已知角列方程定参数；垂直证明用数量积，体积用换底法

🔗【关联脉络】

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