2007-大纲卷I理-07 单-空间直角坐标系向量夹角

本题导读

本题考查正四棱柱中异面直线所成角的余弦值。利用正四棱柱天然的三条两两垂直的棱建立空间直角坐标系，将异面直线的方向转化为代数向量的夹角求解，逻辑严密且不易出错。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 如图，正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=2AB$，则异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{D}_1$ 所成角的余弦值为()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 设定特殊值并建系：因为是选择题且涉及比例关系，设底面正方形边长 $AB=1$，则高 $A{A}_1=2$。以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

2. 写出关键顶点坐标：写出点 $A,B,A_1,D_1$ 的坐标。

3. 求方向向量的点积与模：计算向量 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 和 $\overrightarrow{A{D}_1}$ 的坐标表示，代入夹角公式求出余弦值的绝对值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 为正四棱柱，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $D{D}_1\perp$ 底面 $ABCD$。 设底面边长 $AB=1$，则根据已知条件 $A{A}_1=2AB$，可得高 $A{A}_1=2$。

以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 依据各线段长度，确定相关顶点的直角坐标分别为： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A_1(1,0,2),D_1(0,0,2)$

计算两条异面直线的方向向量： $\overrightarrow{A_{1}B}=(1-1,1-0,0-2)=(0,1,-2)$ $\overrightarrow{A{D}_1}=(0-1,0-0,2-0)=(-1,0,2)$

分别计算这两个向量的模长（长度）： $|\overrightarrow{A_{1}B}|=\sqrt{0^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$ $|\overrightarrow{A{D}_1}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}$

计算这两个向量的数量积（点积）： $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=0\times (-1)+1\times 0+(-2)\times 2=-4$

设异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{D}_1$ 所成的角为 $\theta$。因为异面直线所成角的取值范围规定为 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，其余弦值必须为非负数： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\overrightarrow{A{D}_1}|}=\frac{|-4|}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{4}{5}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、向量夹角公式。
2. 核心方法：空间向量法（也可用几何法：将 $A{D}_1$ 平移至 $B{C}_1$，在 $△A_{1}B{C}_1$ 中用余弦定理求解）。
3. 避坑指南：

• 算出的向量点积为 $-4$，在转化为异面直线夹角时必须加绝对值变成正数。异面直线夹角永远不可能为钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱的几何性质、异面直线所成的角是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正四棱柱的几何性质、异面直线所成的角的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用空间向量坐标法、平移归拢几何法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-07 单-立体几何
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2018-全国卷II理-09 单-空间直角坐标系