2007-安徽卷文-01 单-集合交集解方程

本题导读

本题考查集合的交集，以及一元二次方程的解。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 若 $A=\left\{x\mid x^2=1\right\}$，$B=\left\{x\mid x^2-2x-3=0\right\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $\{3\}$　　　　　　　B. $\{1\}$　　　　　　　C. $\varnothing$　　　　　　　D. $\{-1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 $x^2=1$ 得 $A=\{-1,1\}$。
2. 解 $x^2-2x-3=0$ 得 $B=\{-1,3\}$。
3. 取公共元素。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2=1$ 得 $A=\{-1,1\}$；由 $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0$ 得 $B=\{-1,3\}$． 所以 $A\cap B=\{-1\}$，故选 D． （易错点：$x^2=1$ 的解是 $\pm 1$，只写 $x=1$ 会误选 B。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集解方程

核心方法：解两个一元二次方程定元素，再取交集

避坑指南：$x^2=1$ 的解是 $\pm 1$ 别只写 $1$；因式分解 $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ 看准符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交并补是各套卷首题常客，安徽卷 2007 以”解方程定元素”入题

结论推广：$A\cap B$ 的元素个数不超过两集合元素数的最小值

方法推广：与不等式解集结合时先画数轴；含参数的交集问题注意空集情形

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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