2007-安徽卷文-21 解-养老储备金递推

本题导读

本题考查等差数列。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 $a_{1}$ ；以后每年交纳的数目均比上一年增加 $d$ （ $d > 0$ ）．因此，历年所交纳的储备金数目 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ 是一个公差为 $d$ 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为 $r$ （ $r > 0$ ），那么，在第 $n$ 年末，第一年所交纳的储备金就变为 $a_{1} (1 + r)^{n - 1}$ ，第二年所交纳的储备金就变为 $a_{2} (1 + r)^{n - 2}$ ， $\dots$ ．以 $T_{n}$ 表示到第 $n$ 年末所累计的储备金总额．（1）写出 $T_{n}$ 与 $T_{n - 1}$ （ $n ⩾ 2$ ）的递推关系式；（2）求证： $T_{n} = A_{n} + B_{n}$ ，其中 ${A_{n}}$ 是一个等比数列， ${B_{n}}$ 是一个等差数列．

🔍【思路分析】

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（1）第 $n$ 年末累计 = 前 $n - 1$ 年累计计息一年 + 第 $n$ 年交纳： $T_{n} = (1 + r) T_{n - 1} + a_{n}$ ， $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 。

（2）构造 $C = \frac{a _{1} r + d}{r ^{2}}$ ， $A_{n} = C (1 + r)^{n}$ （等比）， $B_{n} = - \frac{d}{r} n - C$ （等差）。

验证 $n = 1$ 时 $A_{1} + B_{1} = a_{1} = T_{1}$ ；再由递推与归纳法完成证明。

✅【答案】

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（1） $T_{n} = (1 + r) T_{n - 1} + a_{1} + (n - 1) d$ （ $n ⩾ 2$ ）；（2）见解析（取 $A_{n} = \frac{a _{1} r + d}{r ^{2}} (1 + r)^{n}$ ， $B_{n} = - \frac{d}{r} n - \frac{a _{1} r + d}{r ^{2}}$ ）

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $q = 1 + r$ ，则第 $n$ 年末累计的储备金总额为 $T_{n} = a_{1} q^{n - 1} + a_{2} q^{n - 2} + \dots + a_{n},$ 而 $q T_{n - 1} = a_{1} q^{n - 1} + a_{2} q^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} q$ ．因为 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，所以 $T_{n} = q T_{n - 1} + a_{n} = (1 + r) T_{n - 1} + a_{1} + (n - 1) d, n ⩾ 2.$ （2）取 $C = \frac{a _{1} r + d}{r ^{2}}, A_{n} = C (1 + r)^{n}, B_{n} = - \frac{d}{r} n - C .$ 由于 $1 + r$ 为常数， ${A_{n}}$ 是公比为 $1 + r$ 的等比数列；又 $B_{n + 1} - B_{n} = - \frac{d}{r}$ 为常数， ${B_{n}}$ 是等差数列．下面证明 $T_{n} = A_{n} + B_{n}$ ．当 $n = 1$ 时， $A_{1} + B_{1} = C (1 + r) - \frac{d}{r} - C = \frac{C r - d}{r} = a_{1} = T_{1} .$ 若 $T_{n - 1} = A_{n - 1} + B_{n - 1}$ ，则由第（1）问的递推关系式， $T_{n} = (1 + r) (A_{n - 1} + B_{n - 1}) + a_{1} + (n - 1) d = A_{n} - \frac{d}{r} n - C = A_{n} + B_{n} .$ 由数学归纳法， $T_{n} = A_{n} + B_{n}$ 对所有正整数 $n$ 成立．（构造点睛：递推 $T_{n} = q T_{n - 1} + a_{1} + (n - 1) d$ 是”等比 × 等差”混合型，标准解法是待定 $A_{n} = C q^{n}$ 吸收等比部分、 $B_{n} = - \frac{d}{r} n - C$ 吸收线性部分——定 $C$ 时代入递推比较常数项即可。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：养老储备金递推

核心方法：递推 $T_{n} = (1 + r) T_{n - 1} + a_{n}$ ；待定 $A_{n} = C q^{n}$ 、 $B_{n} = - \frac{d}{r} n - C$ 分离等比等差

避坑指南：构造 $C = \frac{a _{1} r + d}{r ^{2}}$ 的来由：代入递推比常数项；归纳法首项与递推两步都要写全

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列应用题（养老储备金）是 2007 年安徽卷压轴，文理同题

结论推广：等差 + 复利的累计模型： $T_{n} = q T_{n - 1} + a_{n}$ 是”等比吸收 + 等差吸收”的混合递推

方法推广：一般递推 $T_{n} = q T_{n - 1} + f (n)$ 的待定系数法： $T_{n} = A q^{n} + B (n)$ 拆分

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

2007-天津卷文-20 解-递推构造等比数列

2007-浙江卷文-19 解-方程根成对数列

2007-北京卷文-16 解-递推数列等比条件

2007-辽宁卷文-20 解-递推数列构造求和

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2007-安徽卷文-21 解-养老储备金递推

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