2007-山东卷理-10 单-等差数列求公式

本题导读

本题考查算法初步中的循环结构程序框图。通过控制变量在循环体内的交替递减，将程序运行的终值计算转化为两个等差数列的求和问题，侧重考查逻辑推理与精确运算能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 阅读如图的程序框图，若输入的 $n$ 是 100，则输出的变量 $S$ 和 $T$ 的值依次是()

A. 2500, 2500　B. 2550, 2550　C. 2500, 2550　D. 2550, 2500

🔍【思路分析】

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1. 顺着流程图的箭头方向，模拟前几次循环中变量 $n,S,T$ 的变化规律。

2. 发现 $S$ 与 $T$ 分别累加偶数和奇数的规律，确定循环跳出时 $n$ 的临界值，转化为数列求和计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

进入循环前：$n=100,S=0,T=0$． 第 1 次循环：$n=100\ge 2$，不满足 $n<2$．执行 $S=0+100=100$，$n=100-1=99$；执行 $T=0+99=99$，$n=99-1=98$； 第 2 次循环：$n=98\ge 2$，不满足 $n<2$．执行 $S=100+98$，$n=98-1=97$；执行 $T=99+97$，$n=97-1=96$； $\cdots$ 第 50 次循环：此时进入循环的 $n=2\ge 2$，不满足 $n<2$．执行 $S=100+98+\cdots +2$，$n=2-1=1$；执行 $T=99+97+\cdots +1$，$n=1-1=0$； 下一次判断：$n=0<2$ 满足条件，跳出循环，输出 $S$ 和 $T$． 利用等差数列求和公式计算： $S=100+98+\cdots +2=\frac{50\times (100+2)}{2}=2550$ $T=99+97+\cdots +1=\frac{50\times (99+1)}{2}=2500$ 故输出的 $S$ 和 $T$ 分别为 2550, 2500． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直到型或当型循环结构流程图的条件判别，等差数列前 $n$ 项和。

2. 核心方法：单步追踪法（用于找寻变量迭代步长规律），数列公式归纳法。

3. 避坑指南：注意循环体内 $n=n-1$ 出现了两次，这意味着每执行完一遍循环体，$n$ 的值减小 2，因此 $S$ 累加的是偶数，$T$ 累加的是奇数，切勿因混淆累加顺序而错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题属于早期算法大纲中的经典循环压轴题，设计精巧地将计算机科学的“循环步长变动”与数学中的“奇偶项分治求和”思想相融合。

5. 结论推广：对于输入为正偶数 $N$ 的同类分流累加程序，若每次循环减 2，则最终输出的两个累加器分别等于从 $N$ 到 2 的所有偶数之和与从 $N-1$ 到 1 的所有奇数之和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-07 单-切线的斜率