2007-浙江卷文-07 单-异面直线公垂线

本题导读

本题考查异面直线，以及公垂线。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 若 $P$ 是两条异面直线 $l$，$m$ 外的任意一点，则 ()

A. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l$，$m$ 都平行

B. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l$，$m$ 都垂直

C. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l$，$m$ 都相交

D. 过点 $P$ 有且仅有一条直线与 $l$，$m$ 都异面

🔍【思路分析】

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1. A：与 $l$ 平行又与 $m$ 平行的直线若存在，则 $l\parallel m$，与异面矛盾。
2. B：$l$ 与 $m$ 的公垂线方向唯一（两个垂直平面交线方向），过 $P$ 恰有一条该方向的直线，同时垂直于 $l,m$。
3. C：过 $P$ 与两条异面直线都相交的直线可能不存在（$P$ 取特殊位置时）。
4. D：过 $P$ 与 $l,m$ 都异面的直线有无穷多条。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

选项 A：若过 $P$ 的直线与 $l$，$m$ 都平行，则由平行公理得 $l\parallel m$，与 $l$，$m$ 异面矛盾，A 不成立． 选项 B：两条异面直线 $l$，$m$ 的公垂线存在且唯一，其方向由 $l$，$m$ 唯一确定．过点 $P$ 作该方向的直线，由平行公理它有且仅有一条，且同时垂直于 $l$ 与 $m$，B 成立． 选项 C：当点 $P$ 恰在过 $l$ 与 $m$ 中某一条的特定平面上时，过 $P$ 与两条异面直线都相交的直线可能不存在，“有且仅有”不成立，C 不成立． 选项 D：过 $P$ 与 $l$，$m$ 都异面的直线有无穷多条，D 不成立． 故选 B． （核心依据：异面直线公垂线有且仅有一条；与两条异面直线都垂直的方向就是公垂线的方向，是唯一的。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线公垂线

核心方法：抓”公垂线存在且唯一”：与两异面直线都垂直的方向唯一

避坑指南：“都平行”与异面矛盾；“都异面”有无穷多条；“都相交”对特殊位置的 $P$ 可能不存在——逐项举反例

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间位置关系命题题是立几第一道把关选择，四个选项四类关系

结论推广：公垂线定理：两条异面直线的公垂线有且仅有一条（教材定理）

方法推广：判断”有且仅有”命题时，先问存在性再问唯一性，两个环节分别找反例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

• 2021-浙江卷-06 单-空间位置关系
• 2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角
• 2007-大纲卷I文-07 单-异面直线所成角
• 2007-北京卷文-17 解-面面垂直与异面角