2007-浙江卷文-11 填-分式函数值域

本题导读

本题考查函数的值域，以及分离常数法。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 函数 $y=\frac{x^2}{x^2+1}$（$x\in \mathbf{R}$）的值域是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 分子分母同次：分离常数 $y=1-\frac{1}{x^2+1}$。
2. $x^2+1⩾1\Rightarrow 0<\frac{1}{x^2+1}⩽1$。
3. 故 $0⩽1-\frac{1}{x^2+1}<1$。

✅【答案】

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$\left[0,1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}$． 因为 $x^2+1⩾1$，所以 $0<\frac{1}{x^2+1}⩽1$，从而 $0⩽1-\frac{1}{x^2+1}<1$． 当 $x=0$ 时 $y=0$；当 $x\to \pm \infty$ 时 $y\to 1$ 但取不到 $1$． 故值域为 $\left[0,1\right)$． （另法：令 $t=x^2⩾0$，$y=\frac{t}{t+1}$ 关于 $t$ 单调递增，$t=0$ 时 $y=0$，$t\to +\infty$ 时 $y\to 1$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数值域

核心方法：分离常数 $y=1-\frac{1}{x^2+1}$，由分母范围定值域

避坑指南：$x=0$ 时取到下界 0（闭），$1$ 取不到（开），区间端点开闭要分开判断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数值域是函数值域题的基础模型

结论推广：$\frac{x^2}{x^2+1}$ 型分离常数后单调有界；$\frac{ax+b}{cx+d}$ 型用反函数法或判别式法

方法推广：形如 $y=\frac{x^m}{x^m+1}$ 的值域均为 $[0,1)$（$x$ 可取 0）或 $(0,1)$（$x\ne 0$）

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2008-上海卷文-09 填-偶函数定值域
• 2008-重庆卷文-12 单-三角分式值域
• 2008-天津卷文-10 单-对数方程值域条件
• 2008-福建卷文-17 解-向量垂直与值域