2007-浙江卷文-17 填-二面角最小视角

本题导读

本题考查二面角，以及直线与平面所成角。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 已知点 $O$ 在二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的棱上，点 $P$ 在 $\alpha$ 内，且 $\angle POB=45°$．若对于 $\beta$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$，都有 $\angle POQ⩾45°$，则二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的大小是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对固定的 $OP$ 与平面 $\beta$，$\angle POQ$（$Q\in \beta$）的最小值是 $OP$ 与 $\beta$ 所成的线面角 $\phi$。
2. 建系：棱为 $x$ 轴，$\alpha$ 为 $xOy$ 面，$P=(a,a,0)$（与棱成 $45°$），$\beta$ 与 $\alpha$ 成二面角 $\theta$。
3. $\sin \phi =\frac{|\sin \theta |}{\sqrt{2}}$；由 $\phi ⩾45°$ 得 $\sin \theta ⩾1$，故 $\theta =90°$。

✅【答案】

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$90°$

✍【详细解析】

Abstract

以棱 $AB$ 为 $x$ 轴、$O$ 为原点，设半平面 $\alpha$ 为 $xOy$ 平面（$z=0$），半平面 $\beta$ 与 $\alpha$ 所成二面角为 $\theta$（$0<\theta ⩽90°$）． 由 $P\in \alpha$ 且 $\angle POB=45°$，可设 $P=(a,a,0)$（$a>0$）．平面 $\beta$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(0,-\sin \theta ,\cos \theta )$． $Q$ 在 $\beta$ 内变动时，$\angle POQ$ 的最小值即直线 $OP$ 与平面 $\beta$ 所成的角 $\phi$，而 $\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{OP}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{OP}||\mathbf{n}|}=\frac{a\sin \theta }{a\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}.$ 题设要求对 $\beta$ 内异于 $O$ 的一切 $Q$ 都有 $\angle POQ⩾45°$，等价于 $\phi ⩾45°$，即 $\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}⩾\frac{\sqrt{2}}{2}⟺\sin \theta ⩾1,$ 故 $\theta =90°$，即二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的大小是 $90°$． （几何直观：把 $\beta$ 从与 $\alpha$ 重合的位置逐渐”折起”，$P$ 对 $\beta$ 的视线角先减小后增大；只有当两半平面垂直时，$P$ 到 $\beta$ 的连线恰与棱成 $45°$，最小视角才不低于 $45°$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角最小视角

核心方法：$\angle POQ$ 的最小值是 $OP$ 与 $\beta$ 的线面角；建系算 $\sin \phi =\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}$

避坑指南：“对任意 $Q$ 都成立”翻译成”最小值 $⩾45°$“；线面角是斜线与平面内所有连线中的最小角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角概念题以”任意点、最小角”方式考查空间想象力，浙江卷特色

结论推广：线面角是斜线与平面内过足直线所成角的最小者（最小角定理）

方法推广：推广：$\angle POQ$ 最小值是 $OP$ 与 $\beta$ 的线面角；最大值趋于 $\pi -$线面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2007-天津卷文-19 解-四棱锥线面角与二面角
• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2007-大纲卷II文-20 解-线面平行与二面角