2007-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 已知 $△ABC$ 的周长为 $\sqrt{2}+1$，且 $\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$． （1）求边 $AB$ 的长； （2）若 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{6}\sin C$，求角 $C$ 的度数．

🔍【思路分析】

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1. （1）设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，由正弦定理 $\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$ 化为 $a+b=\sqrt{2}c$；与周长 $a+b+c=\sqrt{2}+1$ 联立解 $c$。
2. （2）面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{6}\sin C$ 得 $ab=\frac{1}{3}$；$a+b=\sqrt{2}$，算出 $a^2+b^2$。
3. 余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，结合 $0<C<\pi$ 定角。

✅【答案】

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（1）$AB=1$；（2）$C=60°$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，外接圆半径为 $R$．由正弦定理 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$，所以由 $\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$ 得 $a+b=\sqrt{2}c.$ 又三角形周长为 $\sqrt{2}+1$，所以 $(\sqrt{2}+1)c=a+b+c=\sqrt{2}+1,$ 从而 $c=1$，即 $AB=1$． （2）由三角形面积公式及 $0<C<\pi$，得 $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{6}\sin C,$ 所以 $ab=\frac{1}{3}$．又由（1）知 $a+b=\sqrt{2}$，故 $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$ 在 $△ABC$ 中，由余弦定理， $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\frac{4}{3}-1}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}.$ 因为 $0<C<\pi$，所以 $C=60°$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正余弦定理解三角形

核心方法：正弦定理把角的等式化为边的等式；面积条件去掉 $\sin C$ 得 $ab$，余弦定理收口

避坑指南：面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 与给定 $\frac{1}{6}\sin C$ 比较时，$\sin C\ne 0$ 可约去；最后别忘 $0<C<\pi$ 定角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形以”边角互化”为纲，2007 年各套卷解答题第 1 题几乎都是三角/解三角形

结论推广：$\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$ 类齐次等式，正弦定理一化即成边关系

方法推广：面积条件含 $\sin C$ 时先约去（$C\in (0,\pi )$ 保证 $\sin C\ne 0$），再走余弦定理

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷I文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2007-大纲卷II文-18 解-正弦定理与三角形最值
• 2007-天津卷文-17 解-解三角形与和角
• 2023-乙卷文-04 单-正弦定理