2007-福建卷文-19 解-正三棱柱垂直与二面角

本题导读

本题考查线面垂直。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 如图，正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的所有棱长都为 2，$D$ 为 $C{C}_1$ 中点. （1）求证：$A{B}_1\perp$ 平面 $A_{1}BD$. （2）求二面角 $A-A{D}_1-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$A_1(0,0,2)$，$B_1(2,0,2)$，$C_1(1,\sqrt{3},2)$，$D(1,\sqrt{3},1)$。
2. （1）算 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_1}=0$ 与 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{BD}=0$，两相交直线均垂直。
3. （2）原卷印”二面角 $A-A{D}_1-B$“，但题图与已知只有点 $D$（无 $D_1$），按图应为二面角 $A-A_{1}D-B$，加【注】。
4. 求（或用综合法：$AF\perp A_{1}D$、$GF\perp A_{1}D$，$\angle AFG$ 为平面角）两平面法向量夹角。

✅【答案】

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（1）见解析；（2）$\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

【注】原卷（2）问印作”二面角 $A-A{D}_1-B$“，但题图与题干均只定义了点 $D$（无 $D_1$），按题图几何结构应理解为二面角 $A-A_{1}D-B$，以下按此解答（官方答案数值即按此口径）. （1）以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴正向、$AC$ 方向为 $y$ 轴、$A{A}_1$ 为 $z$ 轴建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$A_1(0,0,2)$，$B_1(2,0,2)$，$C_1(1,\sqrt{3},2)$，$D(1,\sqrt{3},1)$． $\overrightarrow{A{B}_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{B{A}_1}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,\sqrt{3},1)$． $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_1}=-4+4=0$，$\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{BD}=-2+2=0$． $B{A}_1$ 与 $BD$ 是平面 $A_{1}BD$ 内相交直线，故 $A{B}_1\perp$ 平面 $A_{1}BD$． （2）设 $A{B}_1\cap A_{1}B=G$，在平面 $A_{1}BD$ 内作 $GF\perp A_{1}D$ 于 $F$，连 $AF$． 由（1）$A{B}_1\perp$ 平面 $A_{1}BD$，而 $A_{1}D\subset$ 平面 $A_{1}BD$，故 $A{B}_1\perp A_{1}D$；$G$ 在 $A{B}_1$ 上，故 $AG\perp A_{1}D$． 于是 $A_{1}D\perp$ 平面 $AGF$，从而 $GF\perp A_{1}D$，$AF\perp A_{1}D$，$\angle AFG$ 为二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角． $△A{A}_{1}D$ 中：$\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{3},1)$，$\left|\overrightarrow{A{A}_1}\times \overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{12+4}=4$，故 $S_{△A{A}_{1}D}=\frac{1}{2}\cdot 4=2$； $A_{1}D=\sqrt{1+3+1}=\sqrt{5}$，以 $A_{1}D$ 为底得 $AF=\frac{2S}{A_{1}D}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$． 又 $A{B}_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$G$ 为 $A{B}_1$ 中点，$AG=\sqrt{2}$． 在 Rt$△AGF$ 中，$\sin \angle AFG=\frac{AG}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{5}/5}=\frac{\sqrt{10}}{4}$， $\cos \angle AFG=\sqrt{1-\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$． 故二面角 $A-A_{1}D-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$． （向量法核对：平面 $A{A}_{1}D$ 的法向量 $n_1=(-\sqrt{3},1,0)$，平面 $A_{1}BD$ 的法向量 $n_2=(\sqrt{3},0,\sqrt{3})$，$\cos \theta =\frac{\left|n_1\cdot n_2\right|}{\left|n_1\right|\left|n_2\right|}=\frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，两法一致．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱垂直与二面角

核心方法：建系算点积证线面垂直；二面角用法向量夹角或平面角

避坑指南：法向量所成角可能与二面角互补，需按图形判断锐钝；本题原图印 $A-A{D}_1-B$ 是排印误，按 $A-A_{1}D-B$ 理解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱柱线面垂直与二面角，2007 立几大题标准结构

结论推广：推广：正三棱柱建系后所有向量坐标都是 $\sqrt{3}$ 的倍数组合

方法推广：立几大题两问通常”证垂直 + 求角”；原图记号有误时按图形结构修正并加注

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-20 解-线面平行与二面角
• 2007-天津卷文-19 解-四棱锥线面角与二面角
• 2007-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角
• 2007-大纲卷I文-19 解-线面垂直与线面角