2007-辽宁卷文-15 填-正六棱柱外接球

本题导读

本题考查正六棱柱，以及外接球。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 若一个底面边长为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，侧棱长为 $\sqrt{6}$ 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 正六边形外接圆半径等于边长，底面外接圆半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
2. 球心在上下底面中心连线的中点，球半径 $r$ 满足 $r^2=R^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$，$h=\sqrt{6}$。
3. 代入体积公式。

✅【答案】

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$4\pi \sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

正六边形的外接圆半径等于其边长，故底面外接圆半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{2}$． 球心 $O$ 在两底面中心连线的中点处，设球半径为 $r$，则 $r^2=R^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=\frac{6}{4}+\frac{6}{4}=3,r=\sqrt{3},$ 其中 $h=\sqrt{6}$ 为侧棱长．球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\sqrt{3}\right)}^3=4\pi \sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六棱柱外接球

核心方法：球心在上下底面中心连线中点

避坑指南：正六边形外接圆半径=边长，别再除以 2；r²=R²+(h/2)² 中 h 用侧棱长 √6，两处 √6/2 平方后都是 6/4

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”柱体与球”（外接球模型）

结论推广：直棱柱外接球半径 r²=R_底²+(h/2)²，对任意正多边形底都成立

方法推广：柱体外接球问题统一走”底面外接圆 + 半柱高”的直角三角形

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球
• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球
• 2008-浙江卷文-15 填-外接球体积
• 2008-福建卷文-15 填-补形求外接球