2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式

本题导读

考查反函数。$y=2^x$ 与 $y={\log }_{2}x$ 互为反函数，故 $f(x)=2^x$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若函数 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)={\log }_{2}x$，则 $f(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 指数函数 $y=2^x$ 与对数函数 $y={\log }_{2}x$ 互为反函数。
2. $f^{-1}(x)={\log }_{2}x$ 的反函数即 $f(x)=2^x$。

✅【答案】

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$2^x$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=f^{-1}(x)={\log }_{2}x$，反解得 $x=2^y$，交换字母得 $y=2^x$. 所以 $f(x)=2^x$（$x\in \mathbf{R}$）. 故答案为 $2^x$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数求解析式

核心方法：$f^{-1}(x)={\log }_{2}x⟺f(x)=2^x$

避坑指南：指数与对数互为反函数：$y=2^x$ 与 $y={\log }_{2}x$ 关于 $y=x$ 对称；见到 $f^{-1}$ 是对数立即写指数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“由反函数求原函数”是概念题，2009 上海文第 1 题、2011 大纲卷文第 2 题同型。

结论推广：$f^{-1}(x)={\log }_{a}x⟺f(x)=a^x$；定义域值域互换。

方法推广：别去反解再换字母——直接背诵互逆对 $(a^x,{\log }_{a}x)$ 更快；定义域 $x\in \mathbf{R}$ 由值域 $(0,+\infty )$ 互换得到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2011-大纲卷文-02 单-反函数
• 2009-重庆卷文-12 填-反函数方程