2008-四川卷文-02 单-对数型反函数

本题导读

${\mathrm{e}}^y=2x+1\Rightarrow x=\frac{{\mathrm{e}}^y-1}{2}$，反函数 $y=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-1)$，定义域为原函数值域 $\mathbf{R}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 函数 $y=\ln (2x+1)$（$x>-\frac{1}{2}$）的反函数是()

A. $y=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x-1$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y={\mathrm{e}}^{2x}-1$（$x\in \mathbf{R}$）

C. $y=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-1)$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　　D. $y={\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-1$（$x\in \mathbf{R}$）

🔍【思路分析】

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对数式化指数式解出 $x$；$\frac{1}{2}$ 只乘在 ${\mathrm{e}}^x-1$ 整体上，与”$\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x$ 再减 1”区分开.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设原函数的反函数为 $y=g(x)$．由 $y=\ln (2x+1)$，得 ${\mathrm{e}}^y=2x+1$，从而 $x=\frac{{\mathrm{e}}^y-1}{2}$．交换 $x$，$y$ 后，反函数为 $y=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-1)$．原函数的值域为 $\mathbf{R}$，所以反函数的定义域为 $x\in \mathbf{R}$．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：对数式化指数式反解 $x$，互换 $x$、$y$ 并注明定义域

避坑指南：$\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-1)$ 的 $\frac{1}{2}$ 乘在整体上，与 $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x-1$ 不同；定义域是原函数值域 $\mathbf{R}$，漏写要扣分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数反函数，教材例题级；2007 四川理 2 同型

结论推广：$y=\ln (ax+b)$ 的反函数恒为 $y=\frac{{\mathrm{e}}^x-b}{a}$

方法推广：反解三步：化指数 → 解 $x$ → 互换并写定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷理-02
• 2007-四川卷理-02 单-指数函数图象性质
• 2016-四川卷文-07 单-对数