2008-大纲卷I文-11 单-三棱柱线面角

本题导读

考查线面角。设棱长 $a$，$A_1$ 到底面距离 $a\sqrt{\frac{2}{3}}$，$A{B}_1$ 长为 $\sqrt{3}a$，故 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_1$ 在底面 $ABC$ 内的射影为 $△ABC$ 的中心，则 $A{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成角的正弦值等于()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设棱长 $a$，正三角形中心 $O$ 满足 $OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$。
2. $A_{1}O\perp$ 底面，$A_{1}O=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$。
3. $A{B}_1$ 在底面的投影是向量 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}$ 对应的线段（$B{B}_1$ 与 $A{A}_1$ 平行等长），其长为 $\sqrt{\frac{7}{3}}a$。
4. $\sin \theta =\frac{A_{1}O}{|A{B}_1|}$，$|A{B}_1|=\sqrt{\frac{7}{3}{a}^2+\frac{2}{3}{a}^2}=\sqrt{3}a$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设侧棱与底面边长均为 $a$，$△ABC$ 的中心为 $O$，则外接圆半径 $OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$. 由 $A_{1}O\perp$ 底面 $ABC$ 且 $A{A}_1=a$，得 $A_{1}O=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)}^2}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$ $B_1$ 在底面上的射影与 $B$ 的关系：$\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}$，故 $A{B}_1$ 在底面上的投影向量为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}的合向量\overrightarrow{(\text{自}A\text{出发})}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}.$ $AB$ 与 $AO$ 的夹角为 $30^{\circ }$，投影长平方为 $a^2+\frac{a^2}{3}+2\cdot a\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a^2+\frac{a^2}{3}+a^2=\frac{7}{3}{a}^2.$ 而 $A{B}_1$ 自身长度：$|A{B}_1{|}^2=\frac{7}{3}{a}^2+A_1{O}^2=\frac{7}{3}{a}^2+\frac{2}{3}{a}^2=3a^2$，故 $|A{B}_1|=\sqrt{3}a$. 设 $A{B}_1$ 与底面所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{A_{1}O}{|A{B}_1|}=\frac{a\sqrt{2/3}}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：斜三棱柱中的线面角

核心方法：$A_{1}O=a\sqrt{\frac{2}{3}}$，$|A{B}_1|=\sqrt{3}a$，$\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$

避坑指南：$A_1$ 的射影是中心 $\Rightarrow$ 用勾股求高；$B_1$ 在底面的投影要借 $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}$ 平移确定；线面角正弦 $=$ 高 $÷$ 斜线长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：斜棱柱的线面角是立体几何小题难点，2009 湖南文第 18 题、2010 大纲Ⅰ文第 9 题同型。

结论推广：正三角形中心到顶点距离 $\frac{a}{\sqrt{3}}$；线面角 $\sin \theta =\frac{h}{|A{B}_1|}$；向量平移 $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}$。

方法推广：先定高，再定斜线在底面的投影；投影长用”向量合成 + 余弦定理”处理，最后套正弦定义。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角
• 2010-大纲卷I文-09 单-正方体线面角
• 2010-大纲卷II文-08 单-三棱锥线面角
• 2013-大纲卷文-11 单-线面角