2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角

本题导读

考查空间向量。$\lambda =\frac{3}{4}$ 定 $E$，$\overrightarrow{DE}$ 垂直平面 $AC{C}_1{A}_1$ 内两相交直线；$\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{8}$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=4$，$A{A}_1=\sqrt{7}$.点 $D$ 是 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AC$ 上，且 $DE\perp A_{1}E$.

(1)证明：平面 $A_{1}DE\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$；

(2)求直线 $AD$ 和平面 $A_{1}DE$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A$ 为原点建系：$A=(0,0,0)$，$B=(4,0,0)$，$C=(2,2\sqrt{3},0)$，$A_1=(0,0,\sqrt{7})$，$D=(3,\sqrt{3},0)$。
2. 设 $E=\lambda \overrightarrow{AC}$ 端点 $(2\lambda ,2\sqrt{3}\lambda ,0)$，由 $\overrightarrow{DE}\perp \overrightarrow{A_{1}E}$ 解得 $\lambda =\frac{3}{4}$。 3.（1）$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{A{A}_1}=0$，$DE$ 垂直平面 $AC{C}_1{A}_1$ 内两相交直线。 4.（2）平面 $A_{1}DE$ 的法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{A_{1}E}$，$|\mathbf{n}|=4\sqrt{3}$；$\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AD}||\mathbf{n}|}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$\frac{\sqrt{21}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系：$A=(0,0,0)$，$B=(4,0,0)$，$C=(2,2\sqrt{3},0)$，$A_1=(0,0,\sqrt{7})$，$D=(3,\sqrt{3},0)$。 设 $E$ 将 $AC$ 按比例 $\lambda$ 分，则 $E=(2\lambda ,2\sqrt{3}\lambda ,0)$，$0<\lambda <1$。 于是 $\overrightarrow{DE}=(2\lambda -3,\sqrt{3}(2\lambda -1),0)$，$\overrightarrow{A_{1}E}=(2\lambda ,2\sqrt{3}\lambda ,-\sqrt{7})$。 由 $DE\perp A_{1}E$，$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{A_{1}E}=4\lambda (4\lambda -3)=0$，解得 $\lambda =\frac{3}{4}$， 即 $E=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},0\right)$，$\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。 （1）$\overrightarrow{AC}=(2,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,\sqrt{7})$， $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{A{A}_1}=0$， 即 $DE$ 垂直于平面 $AC{C}_1{A}_1$ 内两条相交直线 $AC$，$A{A}_1$。 又 $DE\subset$ 平面 $A_{1}DE$，故平面 $A_{1}DE\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$。 （2）平面 $A_{1}DE$ 的一个法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{A_{1}E}=\left(-\frac{\sqrt{21}}{2},-\frac{3\sqrt{7}}{2},-3\sqrt{3}\right)$，且 $|\mathbf{n}|=4\sqrt{3}$。 又 $\overrightarrow{AD}=(3,\sqrt{3},0)$，$|\overrightarrow{AD}|=2\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AD}\cdot \mathbf{n}=-3\sqrt{21}$。 设直线 $AD$ 与平面 $A_{1}DE$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AD}||\mathbf{n}|}=\frac{3\sqrt{21}}{2\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量与线面角

核心方法：建系设 $\lambda$，用 $DE\perp A_{1}E$ 定 $E$；法向量配模求 $\sin \alpha$

避坑指南：$\lambda =\frac{3}{4}$；$\mathbf{n}=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{A_{1}E}$，$|\mathbf{n}|=4\sqrt{3}$，$\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{8}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：设点 $E$ 在 $AC$ 上用比例 $\lambda$ 表坐标，一个未知数解一个方程。

结论推广：面面垂直的向量证法：一条直线垂直于另一平面内两相交直线。

方法推广：线面角公式里是 $\sin$（与二面角的 $\cos$ 区分），最后核对 $\frac{\sqrt{21}}{8}<1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角
• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角