2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和

本题导读

考查等差等比综合。以 $a_4=10$ 表达三项，$a_6^2=a_3{a}_{10}$ 化为 $10d(d-1)=0$，$d=0$ 给 $S_{20}=200$，$d=1$ 给 $S_{20}=330$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_4=10$，且 $a_3$，$a_6$，$a_{10}$ 成等比数列. 求数列 $\{a_n\}$ 前 $20$ 项的和 $S_{20}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公差 $d$：$a_3=10-d$，$a_6=10+2d$，$a_{10}=10+6d$。
2. 等比条件 $a_6^2=a_3\cdot a_{10}$，解出 $d$。
3. 分别求 $a_1$，再算 $S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}$。

✅【答案】

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$S_{20}=200$ 或 $S_{20}=330$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列的公差为 $d$，由 $a_4=10$，得 $a_3=10-d,a_6=10+2d,a_{10}=10+6d.$ 由 $a_3$，$a_6$，$a_{10}$ 成等比数列，得 $a_6^2=a_3\cdot a_{10},$ 即 $(10+2d{)}^2=(10-d)(10+6d).$ 展开整理： $100+40d+4d^2=100+50d-6d^2\Rightarrow 10d^2-10d=0\Rightarrow 10d(d-1)=0.$ 所以 $d=0$ 或 $d=1$. 当 $d=0$ 时，$a_1=10$， $S_{20}=20a_1=200.$ 当 $d=1$ 时，$a_1=a_4-3d=7$， $S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}=10\left(7+7+19\right)=330.$ 综上，$S_{20}=200$ 或 $S_{20}=330$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列配等比条件

核心方法：$a_6^2=a_3{a}_{10}$ 得 $10d(d-1)=0$，$d=0$ 或 $1$，$S_{20}=200$ 或 $330$

避坑指南：用 $a_4$ 表达三项可整体消元；等比中项 $a_6^2=a_3{a}_{10}$；$d=0$（常数列）也是等比（公比 $1$），两解都要保留；$S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}$ 首尾相加最稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差配等比条件是大纲卷文经典解答题，2009 大纲Ⅱ文第 17 题、2010 大纲Ⅱ文第 18 题同型。

结论推广：$a_n=a_m+(n-m)d$；等比中项 $b^2=ac$；$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。

方法推广：以已知项为锚表达其他项，减少未知数；解出 $d$ 后逐个回代求 $a_1$；多解情形（$d=0$）是命题人埋的检查点，别丢解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2010-大纲卷II文-18 解-等比数列通项与求和
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列