2008-大纲卷II理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中可行域的确定以及目标函数最小值的求解。通过绘制不等式组构成的平面区域，利用目标函数的几何意义确定最值点。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件: $\{\begin{array}{l}y\ge x\\ x+2y\le 2\\ x\ge -2\end{array}$，则 $z=x-3y$ 的最小值 ()

A. -2　　　　　　　B. -4　　　　　　　C. -6　　　　　　　D. -8

🔍【思路分析】

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1. 作出约束条件对应的平面可行域，确定各边界直线的交点（顶点）坐标。
2. 将目标函数变形为斜截式 $y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}z$，截距 $-\frac{1}{3}z$ 最大时 $z$ 取得最小值。
3. 观察可知可行域中最高处的顶点能使截距最大，代入该点坐标计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件画出可行域，其为一个三角形区域。 联立边界直线方程求其交点：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x+2y=2\end{array}\Rightarrow A\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x=-2\end{array}\Rightarrow B(-2,-2)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+2y=2\\ x=-2\end{array}\Rightarrow C(-2,2)$

目标函数 $z=x-3y$ 对应直线 $y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}z$。 要使 $z$ 最小，直线的 y 轴截距 $-\frac{1}{3}z$ 需最大，即直线在 y 轴上的交点位置最靠上。 结合图像，当直线经过可行域最上方的顶点 $C(-2,2)$ 时，截距最大，此时 $z$ 取得最小值： $z_{\min }=-2-3\times 2=-8$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数的最值。
2. 核心方法：图解平移法、顶点穷举代入法。
3. 避坑指南：目标函数 $z=x-3y$ 中 $y$ 的系数为负数，平移直线时截距与 $z$ 的大小方向相反，切勿直观认为“越往下 $z$ 越小”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中线性规划章节的经典基础应用题。
2. 结论推广：对目标函数 $z=Ax+By$，若 $B<0$，其最小值必在可行域的最上方顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划