2008-天津卷文-02 单-线性规划最大值

本题导读

考查线性规划。三边界围出三角形可行域，顶点代入 $z=5x+y$：$2$、$3$、$5$，最大值 $5$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y⩾0,\\ x+y⩽1,\\ x+2y⩾1,\end{array}$ 则目标函数 $z=5x+y$ 的最大值为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 画三条边界 $x-y=0$、$x+y=1$、$x+2y=1$，定可行域。
2. 求顶点：$x-y=0$ 与 $x+y=1$ 交 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$；$x-y=0$ 与 $x+2y=1$ 交 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$；$x+y=1$ 与 $x+2y=1$ 交 $(1,0)$。
3. 逐点代入 $z=5x+y$ 比较。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线围成的可行域顶点为 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),(1,0).$ 逐点计算 $z=5x+y$： $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$：$z=2$；$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$：$z=3$；$(1,0)$：$z=5$. 所以 $z_{\max }=5$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最大值

核心方法：顶点 $(1,0)$ 处 $z=5x+y=5$ 最大

避坑指南：三条边界两两交点定三角形可行域；目标函数 $x$ 系数大时最值常落在”横长”的顶点；逐顶点代入比画等值线更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是天津卷高频小题，2009 天津文第 2 题、2010 天津文第 2 题同型。

结论推广：顶点 $=$ 边界线两两交点中满足约束者；最值在顶点处取到。

方法推广：先验顶点是否都满足全部约束（本题 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$、$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$、$(1,0)$ 皆可），再代入比较；漏验约束是常见失分点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2010-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2010-大纲卷II文-05 单-线性规划最值
• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值