2008-天津卷文-09 单-三角函数比较大小

本题导读

考查诱导公式与大小比较。$a=\sin \frac{2\pi }{7}$，与 $b=\cos \frac{2\pi }{7}$ 同角互余比较；$c=\tan \frac{2\pi }{7}>\sin \frac{2\pi }{7}$，得 $b<a<c$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 设 $a=\sin \frac{5\pi }{7}$，$b=\cos \frac{2\pi }{7}$，$c=\tan \frac{2\pi }{7}$，则()

A. $a<b<c$　　　　　B. $a<c<b$　　　　　C. $b<c<a$　　　　　D. $b<a<c$

🔍【思路分析】

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1. 诱导公式：$\sin \frac{5\pi }{7}=\sin \left(\pi -\frac{2\pi }{7}\right)=\sin \frac{2\pi }{7}$，故 $a=\sin \frac{2\pi }{7}$。
2. 同角比较：$\frac{2\pi }{7}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\cos \frac{2\pi }{7}<\sin \frac{2\pi }{7}⟺\frac{2\pi }{7}>\frac{\pi }{4}$，即 $\frac{2}{7}>\frac{1}{4}$ 成立，故 $b<a$。
3. $c=\tan \frac{2\pi }{7}=\frac{\sin \frac{2\pi }{7}}{\cos \frac{2\pi }{7}}$，$0<\cos \frac{2\pi }{7}<1$，故 $c>a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式， $a=\sin \frac{5\pi }{7}=\sin \left(\pi -\frac{2\pi }{7}\right)=\sin \frac{2\pi }{7}.$ 因为 $\frac{2\pi }{7}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 上 $\sin x>\cos x$，所以 $a>b$. 又 $c=\tan \frac{2\pi }{7}=\frac{\sin \frac{2\pi }{7}}{\cos \frac{2\pi }{7}}$，而 $0<\cos \frac{2\pi }{7}<1$，所以 $c>\sin \frac{2\pi }{7}=a$. 综上 $b<a<c$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数值的大小比较

核心方法：$a=\sin \frac{2\pi }{7}$，$b=\cos \frac{2\pi }{7}$，$c=\tan \frac{2\pi }{7}$，$b<a<c$

避坑指南：诱导公式把 $a$ 化到与 $b$ 同角；同角三函数比大小：$\cos$ 最小（角大于 $\frac{\pi }{4}$）、$\tan$ 最大（分母小于 $1$）；无需算具体数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“同角三函数排序”是诱导公式与单调性的综合题，2009 大纲Ⅰ文第 1 题、2011 大纲卷文第 14 题同型。

结论推广：$\sin \left(\pi -x\right)=\sin x$；$x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 时 $\cos x<\sin x<\tan x$。

方法推广：先统一角再排序；$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}>\sin x$ 因 $0<\cos x<1$——一句放缩免掉全部估算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-07 单-对数比较大小
• 2010-安徽卷文-07 单-指数幂比较大小
• 2011-重庆卷文-06 单-对数比较大小
• 2009-天津卷文-05 单-指对数比较大小