2008-天津卷文-15 填-圆的对称与弦长

本题导读

考查对称点与弦长。对称求圆心 $(0,-1)$，圆心距 $d=3$，由半弦长 $3$ 与 $d$ 勾股得 $r^2=18$，方程 $x^2+(y+1{)}^2=18$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 已知圆 $C$ 的圆心与点 $P(-2,1)$ 关于直线 $y=x+1$ 对称. 直线 $3x+4y-11=0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB|=6$，则圆 $C$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $P(-2,1)$ 关于 $y=x+1$ 的对称点：设 $C(x_0,y_0)$，中点在直线上且连线垂直于直线，解得 $C(0,-1)$。
2. 圆心到直线 $3x+4y-11=0$ 的距离 $d=\frac{|3\times 0+4\times (-1)-11|}{5}=\frac{15}{5}=3$。
3. 弦长一半 $\frac{|AB|}{2}=3$，由勾股定理 $r^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=9+9=18$。
4. 圆的方程 $x^2+(y+1{)}^2=18$。

✅【答案】

点击查看答案

$x^2+(y+1{)}^2=18$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心 $C(x_0,y_0)$ 与 $P(-2,1)$ 关于直线 $y=x+1$（即 $x-y+1=0$）对称，则 $\{\begin{array}{l}\frac{y_0-1}{x_0+2}\times 1=-1,\\ \frac{x_0-2}{2}-\frac{y_0+1}{2}+1=0,\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0+y_0+1=0,\\ x_0-y_0+1=0,\end{array}\Rightarrow x_0=0,y_0=-1.$ 即 $C(0,-1)$. 圆心 $C$ 到直线 $3x+4y-11=0$ 的距离 $d=\frac{|3\times 0+4\times (-1)-11|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3.$ 由垂径定理，半弦长为 $\frac{|AB|}{2}=3$，所以 $r^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=9+9=18.$ 所以圆 $C$ 的方程为 $x^2+(y+1{)}^2=18.$ 故答案为 $x^2+(y+1{)}^2=18$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称点与弦长求圆

核心方法：$C(0,-1)$，$d=3$，$r^2=3^2+3^2=18$

避坑指南：对称点用”中点在轴上 + 连线垂直于轴”联立；弦长问题回垂径定理：半弦、弦心距、半径构成直角三角形 $r^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“对称定心 + 弦长定径”是圆的方程标准套路，2009 新课标Ⅰ文第 5 题、2010 天津文第 14 题同型。

结论推广：$P(x_0,y_0)$ 关于 $y=x+1$ 的对称点：$\frac{y_0^{\prime }-y_0}{x_0^{\prime }-x_0}=-1$ 与中点代入直线联立。

方法推广：点关于 $y=x+c$ 的对称点可速算：$(x,y)\to (y-c,x+c)$；本题 $(-2,1)\to (0,-1)$ 秒验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-05 单-圆关于直线对称
• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2009-天津卷文-14 填-圆与圆公共弦
• 2010-天津卷文-14 填-圆的方程相切