2008-天津卷文-20 解-递推数列等差等比

本题导读

考查递推数列。作差得 $\{b_n\}$ 等比；累加求通项分 $q=1$ 与 $q\ne 1$；等差中项条件化成 $q^{n-1}(-2+q^3+q^6)=0$，解 $q=-\sqrt[3]{2}$，代入后对一切 $n$ 成立。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=2$，且 $a_{n+1}=(1+q)a_n-q{a}_{n-1}$（$n⩾2$，$q\ne 0$）.

(1)设 $b_n=a_{n+1}-a_n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），证明 $\{b_n\}$ 是等比数列；

(2)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(3)若 $a_3$ 是 $a_6$ 与 $a_9$ 的等差中项，求 $q$ 的值，并证明：对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_n$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项.

🔍【思路分析】

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1. (1)$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=\left[(1+q)a_{n+1}-q{a}_n\right]-a_{n+1}=q(a_{n+1}-a_n)=q{b}_n$，$b_1=a_2-a_1=1\ne 0$，故 $\{b_n\}$ 是首项 $1$、公比 $q$ 的等比数列。
2. (2)$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k=1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$（$q\ne 1$）；$q=1$ 时 $b_n=1$，$a_n=n$。
3. (3)$2a_n=a_{n+3}+a_{n+6}⟺q^{n-1}(-2+q^3+q^6)=0$。令 $n=3$ 得 $q^3+q^6=2$，即 $(q^3-1)(q^3+2)=0$；$q=1$ 时 $2a_3=6\ne a_6+a_9=15$，舍；故 $q^3=-2$，$q=-\sqrt[3]{2}$。
4. 此时 $-2+q^3+q^6=0$ 对一切 $n$ 成立，即 $2a_n=a_{n+3}+a_{n+6}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$a_n=\{\begin{array}{ll}1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q},& q\ne 1,\\ n,& q=1;\end{array}$(3)$q=-\sqrt[3]{2}$，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)由题设，当 $n⩾2$ 时， $b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=\left[(1+q)a_{n+1}-q{a}_n\right]-a_{n+1}=q\left(a_{n+1}-a_n\right)=q{b}_n.$ 又 $b_1=a_2-a_1=1\ne 0$，$q\ne 0$，所以 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $q$ 的等比数列. (2)当 $q\ne 1$ 时，由(1)得 $b_n=q^{n-1}$，则 $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k=1+\left(1+q+\cdots +q^{n-2}\right)=1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q}.$（$n=1$ 时也适合） 当 $q=1$ 时，$b_n=1$，$a_n=a_1+(n-1)\times 1=n$. 综上，$a_n=\{\begin{array}{ll}1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q},& q\ne 1,\\ n,& q=1.\end{array}$ (3)当 $q\ne 1$ 时， $2a_n-a_{n+3}-a_{n+6}=\frac{2\left(1-q^{n-1}\right)-\left(1-q^{n+2}\right)-\left(1-q^{n+5}\right)}{1-q}=\frac{q^{n-1}\left(-2+q^3+q^6\right)}{1-q}.$ 若 $a_3$ 是 $a_6$ 与 $a_9$ 的等差中项，则 $2a_3=a_6+a_9$，即 $n=3$ 时上式为零： $q^2\left(-2+q^3+q^6\right)=0\Rightarrow q^3+q^6=2\Rightarrow \left(q^3-1\right)\left(q^3+2\right)=0.$ 若 $q=1$，则 $a_n=n$，$2a_3=6$，而 $a_6+a_9=15$，不合题意，舍去； 所以 $q^3=-2$，$q=-\sqrt[3]{2}$. 此时 $-2+q^3+q^6=-2+(-2)+4=0$，于是对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$， $2a_n-a_{n+3}-a_{n+6}=0,$ 即 $a_n$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项. （当 $q=1$ 时 $a_n=n$，$2a_n=2n\ne a_{n+3}+a_{n+6}=2n+9$，不合题意，故只有 $q=-\sqrt[3]{2}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性递推数列的等比差分

核心方法：$b_{n+1}=q{b}_n$；$a_n=1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$（$q\ne 1$）、$n$（$q=1$）；$q=-\sqrt[3]{2}$

避坑指南：$(1+q)a_n-q{a}_{n-1}$ 型递推相邻作差即化等比；累加求通项天然分 $q=1$；等差中项条件代通项后按 $q^{n-1}$ 提公因式，$q^3$ 的二次方程因式分解定根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a_{n+1}=(1+q)a_n-q{a}_{n-1}$ 是”等比插值”型递推，2009 福建文第 17 题、2010 湖北文第 19 题同型。

结论推广：特征方程 $t^2=(1+q)t-q$ 有重根 $t=1$，故解为 $a_n=A+B{q}^{n-1}$ 型；等差中项 $⟺2a_n=a_{n+3}+a_{n+6}$。

方法推广：求出 $q$ 后必须回头验证”对任意 $n$ 成立”——本题恰因 $-2+q^3+q^6=0$ 与 $n$ 无关才成立；$q=1$ 的舍去要有具体数值理由。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2010-福建卷文-17 解-Sn与通项及等差中项
• 2010-湖北卷文-19 解-数列递推与通项