2008-天津卷文-21 解-四次函数极值与恒成立

本题导读

考查导数单调性、极值与恒成立。因式分解 $f^{\prime }(x)=x(4x^2+3ax+4)$；仅在 $0$ 处有极值等价于二次因式无变号零点（$\Delta ⩽0$）；恒成立对 $a$ 取最坏值 $2|x{|}^3$，$h(x)$ 在 $[0,1]$ 增、最大 $4$，得 $b⩽-4$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=x^4+a{x}^3+2x^2+b$（$x\in \mathbf{R}$），其中 $a$，$b\in \mathbf{R}$.

(1)当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2)若函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围；

(3)若对于任意的 $a\in [-2,2]$，不等式 $f(x)⩽1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1)$f^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2+4x$；代入 $a=-\frac{10}{3}$：$f^{\prime }(x)=2x(2x-1)(x-2)$，三根 $0,\frac{1}{2},2$，列表判号。
2. (2)$f^{\prime }(x)=x(4x^2+3ax+4)$。二次因式若无变号零点（$\Delta =9a^2-64⩽0$，即 $-\frac{8}{3}⩽a⩽\frac{8}{3}$），则 $f^{\prime }$ 只在 $x=0$ 变号，仅在 $0$ 处有极值；若 $\Delta >0$ 则有两个非零变号零点，极值多于一个。
3. (3)$f(x)⩽1⟺x^4+a{x}^3+2x^2-1⩽-b$。对固定的 $x$，$a{x}^3$ 在 $a\in [-2,2]$ 上的最大值为 $2|x^3|$，故只需 $g(x)=x^4+2x^2+2|x{|}^3-1⩽-b$ 对 $x\in [-1,1]$ 成立。
4. $g$ 为偶函数；$x⩾0$ 时 $g(x)=x^4+2x^3+2x^2-1$，$g^{\prime }(x)=4x^3+6x^2+4x=2x\left(2x^2+3x+2\right)>0$（$x>0$），$g$ 在 $[0,1]$ 增，$g_{\max }=g(1)=4$。故 $-b⩾4$，$b⩽-4$。

✅【答案】

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(1)增区间 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$、$(2,+\infty )$，减区间 $(-\infty ,0)$、$\left(\frac{1}{2},2\right)$；(2)$a\in \left[-\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right]$；(3)$b⩽-4$

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $a=-\frac{10}{3}$ 时， $f^{\prime }(x)=4x^3-10x^2+4x=2x\left(2x^2-5x+2\right)=2x(2x-1)(x-2).$ 列表判号：$x\in (-\infty ,0)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；$x\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；$x\in (2,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$. 所以 $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$，$(2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-\infty ,0)$，$\left(\frac{1}{2},2\right)$ 上单调递减. (2)$f^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2+4x=x\left(4x^2+3ax+4\right)$，$x=0$ 总是 $f^{\prime }(x)$ 的零点. 函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，等价于二次因式 $4x^2+3ax+4$ 没有变号零点，即 $\Delta =(3a{)}^2-4\times 4\times 4⩽0\Rightarrow 9a^2⩽64\Rightarrow -\frac{8}{3}⩽a⩽\frac{8}{3}.$ （若 $\Delta >0$，二次因式有两个非零实根 $x_1<x_2$（因常数项 $4>0$，两根同号且都不为 $0$），$f^{\prime }$ 在 $x_1$、$x_2$ 处也变号，$f$ 的极值点多于一个，不合题意；$\Delta =0$ 时二次因式的根为二重根，$f^{\prime }$ 在该点不变号，仅在 $x=0$ 处有极值，符合题意。） 所以 $a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right]$. (3)不等式 $f(x)⩽1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，即 $x^4+a{x}^3+2x^2-1⩽-b$ 对一切 $x\in [-1,1]$、$a\in [-2,2]$ 成立. 对固定的 $x\in [-1,1]$，$a{x}^3$ 关于 $a$ 递增（$x^3>0$）或递减（$x^3<0$），其最大值为 ${\max }_{a\in [-2,2]}a{x}^3=2\left|x^3\right|.$ 所以只需 $g(x)=x^4+2x^2+2\left|x^3\right|-1⩽-b(x\in [-1,1]).$ $g(x)$ 是偶函数，只看 $x\in [0,1]$：$g(x)=x^4+2x^3+2x^2-1$， $g^{\prime }(x)=4x^3+6x^2+4x=2x\left(2x^2+3x+2\right)>0(0<x⩽1)$ （因 $2x^2+3x+2$ 的判别式 $9-16<0$，恒正），故 $g$ 在 $[0,1]$ 上单调递增， $g_{\max }=g(1)=1+2+2-1=4.$ 所以 $-b⩾4$，即 $b⩽-4$. 所以 $b$ 的取值范围是 $(-\infty ,-4]$.（经检验 $b=-4$ 时对一切 $a\in [-2,2]$、$x\in [-1,1]$ 有 $f(x)⩽1$，等号可在 $a=\pm 2$、$x=\pm 1$ 处取得。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四次函数的极值与双参恒成立

核心方法：$f^{\prime }(x)=x(4x^2+3ax+4)$；$\Delta ⩽0⟺|a|⩽\frac{8}{3}$；$\max g=g(1)=4$，$b⩽-4$

避坑指南：$f^{\prime }$ 因式分解出单根 $0$ 与二次因式；“仅在一点有极值”转译为”二次因式无变号零点”；双参恒成立先固定 $x$ 对 $a$ 取最坏值，化为一元函数最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双参恒成立”先对参数取极”是通用招法，2009 大纲Ⅱ文第 21 题、2009 山东文第 21 题同型。

结论推广：${\max }_{a\in [-2,2]}a{x}^3=2|x{|}^3$；$2x^2+3x+2$ 判别式 $9-16<0$ 恒正。

方法推广：单调性判别中 $g^{\prime }(x)=2x(2x^2+3x+2)$ 的因式分解把”恒正因式”识别出来，$g$ 在 $[0,1]$ 增一目了然；端点值 $g(1)=4$ 即答案边界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立