2008-山东卷文-07 单-分式不等式解集

本题导读

移项后化为 $\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-1{)}^2}⩽0$，分母恒正，只需分子 $⩽0$ 且 $x\ne 1$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 不等式 $\frac{x+5}{(x-1{)}^2}⩾2$ 的解集是()

A. $\left[-3,\frac{1}{2}\right]$　　B. $\left[-\frac{1}{2},3\right]$　　C. $\left[\frac{1}{2},1\right)\cup (1,3]$　　D. $\left[-\frac{1}{2},1\right)\cup (1,3]$

🔍【思路分析】

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$\frac{x+5-2(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}⩾0$，分子 $-2x^2+5x+3=-(2x+1)(x-3)$，故 $-\frac{1}{2}⩽x⩽3$ 且 $x\ne 1$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

移项：$\frac{x+5}{(x-1{)}^2}-2⩾0$，即 $\frac{-2x^2+5x+3}{(x-1{)}^2}⩾0$，等价于 $\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-1{)}^2}⩽0$. 因 $(x-1{)}^2>0$（$x\ne 1$），故 $(2x+1)(x-3)⩽0$，解得 $-\frac{1}{2}⩽x⩽3$. 又 $x\ne 1$，故解集为 $\left[-\frac{1}{2},1\right)\cup (1,3]$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式的同解变形

核心方法：移项通分后利用分母恒正去分母，端点与排除点并重

避坑指南：$(x-1{)}^2>0$ 恒正才能直接乘过去，但 $x=1$ 必须挖去；不等号方向移项后别弄反，答案两端点是闭的

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式是二次不等式的延伸（2010 大纲Ⅱ文 2、2012 江西文 11）

结论推广：分母变号时需移项通分为 $\frac{f(x)}{g(x)}>0$ 型统一处理

方法推广：“分母恒正才可去分母”与”端点开闭”两个检查点必须过

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷II文-02 单-分式不等式
• 2012-江西卷文-11 填-分式不等式解集
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 2010-大纲卷I文-13 填-分式不等式