2008-山东卷文-09 单-频数表标准差

本题导读

均值 $\bar{x}=3$；方差 $=\frac{20\cdot 2^2+10\cdot 1^2+30\cdot 0^2+30\cdot 1^2+10\cdot 2^2}{100}=\frac{8}{5}$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 从某项综合能力测试中抽取 $100$ 人的成绩，统计如表，则这 $100$ 人成绩的标准差为()

分数	5	4	3	2	1
人数	20	10	30	30	10

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $\frac{8}{5}$

🔍【思路分析】

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$\bar{x}=3$；$s^2=\frac{80+10+0+30+40}{100}=1.6=\frac{8}{5}$，$s=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\bar{x}=\frac{5\times 20+4\times 10+3\times 30+2\times 30+1\times 10}{100}=\frac{300}{100}=3$. $s^2=\frac{20(5-3{)}^2+10(4-3{)}^2+30(3-3{)}^2+30(2-3{)}^2+10(1-3{)}^2}{100}=\frac{80+10+0+30+40}{100}=\frac{8}{5}$. 标准差 $s=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：加权平均数与标准差

核心方法：均值按频数加权，方差 $s^2=\frac{\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}$，开方收尾

避坑指南：方差公式分母是总人数 $100$ 不是组数；$$\begin{gathered} sqrt \\ frac85= \\ frac2 \\ sqrt105 \end{gathered}$$，化简时分子分母同乘 $sqrt5$ 别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频数表方差是统计量的基本运算（2010 陕西文 4、2013 山东文 10）

结论推广：推广到分层加权、组中值近似方差

方法推广：加权平均与方差共用频数权重，公式分母永远是总容量

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
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