2008-山东卷文-19 解-四棱锥面面垂直与体积

本题导读

$A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2\Rightarrow BD\perp AD$；$PN\perp$ 底面 $\Rightarrow BD\perp$ 平面 $PAD\Rightarrow$ 平面 $MBD\perp$ 平面 $PAD$；底为梯形面积 $24$、高 $2\sqrt{3}$，$V=16\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，$AB\parallel DC$，$△PAD$ 是等边三角形，已知 $BD=2AD=8$，$AB=2DC=4\sqrt{5}$.

(1)设 $M$ 是 $PC$ 上的一点，证明：平面 $MBD\perp$ 平面 $PAD$；

(2)求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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(1)$AD=4,BD=8,AB=4\sqrt{5}$ 满足 $A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2$，$BD\perp AD$；取 $AD$ 中点 $N$，$PN\perp$ 平面 $ABCD$，故 $PN\perp BD$，$BD\perp$ 平面 $PAD$，$BD\subset$ 平面 $MBD$，得证. (2)建系求梯形面积 $24$，高 $PN=2\sqrt{3}$，$V=\frac{1}{3}\times 24\times 2\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.

✅【答案】

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(1)证明：平面 $MBD\perp$ 平面 $PAD$ (2)四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为 $16\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在 $△ABD$ 中，$AD=4$，$BD=8$，$AB=4\sqrt{5}$，则 $A{B}^2=80=16+64=A{D}^2+B{D}^2$，故 $\angle ADB=90^{\circ }$，即 $BD\perp AD$. 取 $AD$ 的中点 $N$，连接 $PN$. 因 $△PAD$ 为等边三角形，故 $PN\perp AD$. 又平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，交线为 $AD$，故 $PN\perp$ 平面 $ABCD$，从而 $PN\perp BD$. $AD\cap PN=N$，故 $BD\perp$ 平面 $PAD$. 又 $BD\subset$ 平面 $MBD$，所以平面 $MBD\perp$ 平面 $PAD$. (2)以 $D$ 为原点，$DA$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，则 $D(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,8)$. 由 $DC\parallel AB$ 且 $DC=\frac{1}{2}AB$ 得 $C(-2,4)$. 直线 $AB$：$2x+y-8=0$，直线 $DC$：$2x+y=0$，两平行线间距离 $h_1=\frac{8}{\sqrt{5}}$. 梯形 $ABCD$ 面积 $S=\frac{1}{2}(AB+DC)\cdot h_1=\frac{1}{2}(4\sqrt{5}+2\sqrt{5})\times \frac{8}{\sqrt{5}}=24$. $PN=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=2\sqrt{3}$ 即四棱锥的高. $V=\frac{1}{3}S{h}_{PN}=\frac{1}{3}\times 24\times 2\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的判定与体积计算

核心方法：勾股逆定理得线线垂直，叠加面面垂直性质得线面垂直；体积=底面积×高÷3

避坑指南：$$\begin{gathered} BD \\ perp \end{gathered}$$ 平面 $PAD$ 需要 $BD$ 垂直平面内两条相交直线（$AD$ 和 $PN$），只垂直 $AD$ 不够；梯形面积用平行线距离公式，别用 $$\begin{gathered} frac12(AB+DC) \\ timesBD \end{gathered}$$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直+体积是立体几何大题主干（2010 新课标Ⅰ文 18、2009 北京文 16）

结论推广：可加问线面角、二面角、动点距离

方法推广：勾股逆定理识垂直、面面垂直性质传垂直、底面积×高÷3 收体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与体积
• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角