2008-新课标卷文-07 单-不等式恒成立

本题导读

考查不等式恒成立。由 $(1-a_{i}x{)}^2<1$ 得 $0<x<\frac{2}{a_i}$，三式同时成立需 $x<\min \frac{2}{a_i}=\frac{2}{a_1}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 已知 $a_1>a_2>a_3>0$，则使得 $(1-a_{i}x{)}^2<1$（$i=1,2,3$）都成立的 $x$ 取值范围是()

A. $\left(0,\frac{1}{a_1}\right)$　　　B. $\left(0,\frac{2}{a_1}\right)$　　　C. $\left(0,\frac{1}{a_3}\right)$　　　D. $\left(0,\frac{2}{a_3}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 把 $(1-a_{i}x{)}^2<1$ 化为 $-1<1-a_{i}x<1$。
2. 结合 $x>0$、$a_i>0$ 得 $0<a_{i}x<2$，即 $0<x<\frac{2}{a_i}$。
3. 三个不等式都成立，取交集，比较 $\frac{2}{a_i}$ 的最小者。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $(1-a_{i}x{)}^2<1$ 得 $-1<1-a_{i}x<1$，即 $0<a_{i}x<2$. 因 $a_i>0$，故 $0<x<\frac{2}{a_i}$（$i=1,2,3$）. 要使 $x$ 同时满足三个不等式，需 $0<x<\min \left\{\frac{2}{a_1},\frac{2}{a_2},\frac{2}{a_3}\right\}.$ 由 $a_1>a_2>a_3>0$ 知 $\frac{2}{a_1}<\frac{2}{a_2}<\frac{2}{a_3}$，故最小值是 $\frac{2}{a_1}$. 所以 $x$ 的取值范围是 $\left(0,\frac{2}{a_1}\right)$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式恒成立求参数范围

核心方法：$(1-a_{i}x{)}^2<1⟺0<x<\frac{2}{a_i}$，取交集得 $0<x<\frac{2}{a_1}$

避坑指南：$(1-a_{i}x{)}^2<1$ 展开成 $-1<1-a_{i}x<1$，结合 $x>0,a_i>0$ 得 $0<a_{i}x<2$；三式同时成立要取”最小的上界”$\frac{2}{a_1}$，不是 $\frac{2}{a_3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“对多个 $i$ 都成立”的不等式题本质是取交集，2009 大纲Ⅰ文第 3 题、2010 大纲Ⅰ文第 13 题同型。

结论推广：$|u|<a⟺-a<u<a$；多个不等式都成立 $⟺$ 取各自解集的交集。

方法推广：先统一解每个 $i$ 对应的不等式，再比较上界大小取最小者；“最大 $a_i$ 对应最小 $\frac{2}{a_i}$“是本题的关键判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式
• 2010-大纲卷I文-13 填-分式不等式
• 2010-大纲卷II文-02 单-分式不等式
• 2009-天津卷文-16 填-二次不等式整数解