2008-江苏卷-15 解-三角定义求值

本题导读

本题由单位圆定义读出 $\sin ,\cos$，第(1)问用正切和角公式；第(2)问把 $\alpha +2\beta$ 看作 $\alpha +(2\beta )$，先用二倍角再用和角公式，并借助角的范围定值。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以 $Ox$ 轴为始边作两个锐角 $\alpha$，$\beta$，它们的终边分别与单位圆交于 $A$，$B$ 两点. 已知 $A$，$B$ 的横坐标分别为 $\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

(1)求 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值；

(2)求 $\alpha +2\beta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 终边与单位圆交点的横坐标即 $\cos$ 值，由同角关系得 $\sin$ 与 $\tan$。
2. (1) 代入正切和角公式。
3. (2) 先算 $\cos 2\beta ,\sin 2\beta$，再算 $\cos (\alpha +2\beta )$ 与 $\sin (\alpha +2\beta )$，由角范围锁定唯一值。

✅【答案】

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(1)$\tan (\alpha +\beta )=-3$；(2)$\alpha +2\beta =\frac{3\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\cos \beta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$。$\alpha$，$\beta$ 为锐角，故 $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{2}{100}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\sin \beta =\sqrt{1-\frac{20}{25}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$， 从而 $\tan \alpha =7$，$\tan \beta =\frac{1}{2}$。 (1)$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{7+\frac{1}{2}}{1-7\times \frac{1}{2}}=\frac{\frac{15}{2}}{-\frac{5}{2}}=-3$。 (2)$\cos 2\beta =2{\cos }^2\beta -1=2\times \frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$，$\sin 2\beta =2\sin \beta \cos \beta =2\times \frac{\sqrt{5}}{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}$。 $\cos (\alpha +2\beta )=\cos \alpha \cos 2\beta -\sin \alpha \sin 2\beta =\frac{\sqrt{2}}{10}\times \frac{3}{5}-\frac{7\sqrt{2}}{10}\times \frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{2}-28\sqrt{2}}{50}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由 $\cos \beta =\frac{2\sqrt{5}}{5}>\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$ 及 $\beta$ 为锐角，得 $0<\beta <\frac{\pi }{4}$，故 $0<2\beta <\frac{\pi }{2}$，从而 $0<\alpha +2\beta <\pi$。 又 $\cos (\alpha +2\beta )<0$，$\sin (\alpha +2\beta )=\sin \alpha \cos 2\beta +\cos \alpha \sin 2\beta =\frac{7\sqrt{2}}{10}\times \frac{3}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}\times \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$， 所以 $\alpha +2\beta$ 是第二象限角，即 $\alpha +2\beta =\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数定义与和角公式、二倍角

核心方法：定义读出 $\sin ,\cos$，拼凑 $\alpha +2\beta$

避坑指南：锐角限定下 $\sin$ 取正；最后必须用角的范围 $\alpha +2\beta \in (0,\pi )$ 排除多解，只凭一个三角函数值不能定角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 大纲Ⅰ文第 4 题、2010 四川文第 19 题同考定义与和角。

结论推广：单位圆定义是 $\sin ,\cos ,\tan$ 互化的源头。

方法推广：求角三步：算值、定范围、定象限，一步不能省。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2010-四川卷文-19 解-和角公式推导求值
• 2010-新课标卷文-10 单-和角正弦求值
• 2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形