2008-江西卷文-17 解-两角和正切与最值

本题导读

(1) $\cos \beta =\frac{\sqrt{5}}{5}$ 且 $\beta \in (0,\pi )$ 给 $\sin \beta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$、$\tan \beta =2$，代入和角公式；(2) 展开后 $\sin x$ 系数 $=-\sqrt{5}$、$\cos x$ 系数 $=0$，$f(x)=-\sqrt{5}\sin x$，最大值 $\sqrt{5}$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 已知 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$，$\cos \beta =\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\alpha$，$\beta \in (0,\pi )$.

(1) 求 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)=\sqrt{2}\sin (x-\alpha )+\cos (x+\beta )$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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(1) $\tan \beta =2$，$\tan (\alpha +\beta )=\frac{-\frac{1}{3}+2}{1+\frac{1}{3}\times 2}=1$. (2) 展开合并：$\sin x$ 系数 $\sqrt{2}\cos \alpha -\sin \beta =-\sqrt{5}$，$\cos x$ 系数 $-\sqrt{2}\sin \alpha +\cos \beta =0$（用 $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}$），故 $f(x)=-\sqrt{5}\sin x$，最大值 $\sqrt{5}$.

✅【答案】

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(1) $1$；(2) $\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\beta \in (0,\pi )$ 且 $\cos \beta =\frac{\sqrt{5}}{5}>0$，得 $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$， 故 $\tan \beta =2$. $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{-\frac{1}{3}+2}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)\times 2}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}}=1$. (2) 由 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 且 $\alpha \in (0,\pi )$，$\alpha$ 在第二象限，$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\cos \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}$. $f(x)=\sqrt{2}(\sin x\cos \alpha -\cos x\sin \alpha )+\cos x\cos \beta -\sin x\sin \beta$ $=\sin x\left(\sqrt{2}\cos \alpha -\sin \beta \right)+\cos x\left(-\sqrt{2}\sin \alpha +\cos \beta \right)$. $\sqrt{2}\cos \alpha -\sin \beta =-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}-\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5}$； $-\sqrt{2}\sin \alpha +\cos \beta =-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=0$. 所以 $f(x)=-\sqrt{5}\sin x$，其最大值为 $\sqrt{5}$（当 $\sin x=-1$ 时取得）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和正切与函数最值

核心方法：先由已知角关系求 $\tan \alpha$，再展 $\tan (\alpha +\beta )$ 化一求最值

避坑指南：$$\begin{gathered} tan( \\ alpha+ \\ beta) \end{gathered}$$ 展开时分母 $$\begin{gathered} 1- \\ tan \\ alpha \\ tan \\ beta \\ neq0 \end{gathered}$$；求 $f(x)$ 最大（小）值用辅助角或配方，别漏端点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两角和正切与最值（2009 江西文 17、2013 安徽文 16）

结论推广：推广到 $\tan$ 的倍角、差角与三角恒等变形的综合

方法推广：先定单角再展开，化一求最值，是三角大题的标准流程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2010-北京卷文-15 解-二倍角化简与最值
• 2009-陕西卷文-17 解-三角解析式与最值
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值