2008-江西卷文-18 解-独立事件与互斥分类

本题导读

九种”第一年倍率 × 第二年倍率”组合中：乘积恰为 1.0 的只有 $1.0\times 1.0$ 与 $0.8\times 1.25$；其余乘积大于 1.0 的五组之和给超过概率.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立. 该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4.

(1) 求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

(2) 求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

🔍【思路分析】

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(1) $1.0\times 1.0$（$0.2\times 0.4$）与 $0.8\times 1.25$（$0.4\times 0.3$）两类：$0.08+0.12=0.2$. (2) 超过的五类：$(1.0,1.5),(1.0,1.25),(0.9,1.5),(0.9,1.25),(0.8,1.5)$，概率和 $=0.3\times (0.2+0.2+0.4+0.4+0.4)=0.48$.

✅【答案】

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(1) $0.2$；(2) $0.48$

✍【详细解析】

Abstract

设两年实施相互独立，各类倍率组合的概率等于对应概率之积. (1) 两年后恰好达到灾前产量（总倍率为 1.0）的情形有： 第一年 1.0 倍且第二年 1.0 倍：$0.2\times 0.4=0.08$； 第一年 0.8 倍且第二年 1.25 倍：$0.4\times 0.3=0.12$. 故所求概率 $P_1=0.08+0.12=0.2$. (2) 两年后超过灾前产量（总倍率大于 1.0）的情形有： $(1.0,1.5)$：$0.2\times 0.3=0.06$；$(1.0,1.25)$：$0.2\times 0.3=0.06$； $(0.9,1.5)$：$0.4\times 0.3=0.12$；$(0.9,1.25)$：$0.4\times 0.3=0.12$； $(0.8,1.5)$：$0.4\times 0.3=0.12$. 故所求概率 $P_2=0.06+0.06+0.12+0.12+0.12=0.48$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与互斥分类

核心方法：把复合事件拆成互斥的简单事件，独立事件概率相乘

避坑指南：事件独立才可相乘，“互斥”与”独立”是两个不同概念别混淆；分类要”不重不漏”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件概率大题（2009 北京文 17、2010 四川文 17）

结论推广：可加问”恰有一人""至少一人”，结构不变

方法推广：互斥拆类 + 独立乘法 + 对立转换，覆盖全部基础概率大题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-四川卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率