2008-江西卷理-18 解-分布列

本题导读

本题是一道考查概率与统计应用的解答题。核心意图在于利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算两年连续决策下的各种组合产量倍数，从而建立随机变量的分布列，并运用数学期望作为决策依据来评估最优方案。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施. 若实施方案一，预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5. 若实施方案二，预计第一年可以使柑橘产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.88 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6. 实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 ${\xi }_i$ ($i=1,2$) 表示方案 $i$ 实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.

(1)写出 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 的分布列；

(2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？

(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元.问实施哪种方案的平均利润更大？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用两年的实施结果相互独立，将第一年的产量倍数与第二年的增长倍数进行穷举相乘，利用乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B)$ 算出各组合概率，合并相同数值后列出分布列。
2. 第二问：将“产量超过灾前产量”翻译为随机变量 ${\xi }_i>1$，分别把两方案中满足该条件的概率进行累加并比较大小。
3. 第三问：将利润设为新的随机变量，根据 ${\xi }_i<1$、${\xi }_i=1$、${\xi }_i>1$ 的概率分布求出各自方案的数学期望，对比均值大小做出决策。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)根据题意，由于第一年与第二年的实施结果相互独立，可以通过穷举法计算 ${\xi }_1$ 与 ${\xi }_2$ 的取值及其概率。

对于方案一（${\xi }_1$）：

• ${\xi }_1=1.0\times 1.25=1.25$，其概率 $P=0.3\times 0.5=0.15$；
• ${\xi }_1=1.0\times 1.0=1.0$，其概率 $P=0.3\times 0.5=0.15$；
• ${\xi }_1=0.9\times 1.25=1.125$，其概率 $P=0.3\times 0.5=0.15$；
• ${\xi }_1=0.9\times 1.0=0.9$，其概率 $P=0.3\times 0.5=0.15$；
• ${\xi }_1=0.8\times 1.25=1.0$，其概率 $P=0.4\times 0.5=0.20$；
• ${\xi }_1=0.8\times 1.0=0.8$，其概率 $P=0.4\times 0.5=0.20$。

合并 ${\xi }_1=1.0$ 的概率：$P=0.15+0.20=0.35$。 可得 ${\xi }_1$ 的分布列为：

${\xi }_1$	0.8	0.9	1.0	1.125	1.25
$P$	0.20	0.15	0.35	0.15	0.15

对于方案二（${\xi }_2$）：

• ${\xi }_2=1.2\times 1.2=1.44$，其概率 $P=0.2\times 0.4=0.08$；
• ${\xi }_2=1.2\times 1.0=1.2$，其概率 $P=0.2\times 0.6=0.12$；
• ${\xi }_2=1.0\times 1.2=1.2$，其概率 $P=0.3\times 0.4=0.12$；
• ${\xi }_2=1.0\times 1.0=1.0$，其概率 $P=0.3\times 0.6=0.18$；
• ${\xi }_2=0.88\times 1.2=1.056$，其概率 $P=0.5\times 0.4=0.20$；
• ${\xi }_2=0.88\times 1.0=0.88$，其概率 $P=0.5\times 0.6=0.30$。

合并 ${\xi }_2=1.2$ 的概率：$P=0.12+0.12=0.24$。 可得 ${\xi }_2$ 的分布列为：

${\xi }_2$	0.88	1.0	1.056	1.2	1.44
$P$	0.30	0.18	0.20	0.24	0.08

(2)两年后柑橘产量超过灾前产量，即要求相应的随机变量大于 1。

• 方案一超过灾前产量的概率为： $P({\xi }_1>1)=P({\xi }_1=1.125)+P({\xi }_1=1.25)=0.15+0.15=0.30$
• 方案二超过灾前产量的概率为： $P({\xi }_2>1)=P({\xi }_2=1.056)+P({\xi }_2=1.2)+P({\xi }_2=1.44)=0.20+0.24+0.08=0.52$

因为 $0.52>0.30$，所以实施方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大。

(3)设方案一、方案二对应的预计利润分别为 $W_1,W_2$（单位：万元）。

由(1)可知方案一的利润概率分布：

• 达不到灾前产量（${\xi }_1<1$）的概率：$P=0.20+0.15=0.35$；
• 恰好达到灾前产量（${\xi }_1=1$）的概率：$P=0.35$；
• 超过灾前产量（${\xi }_1>1$）的概率：$P=0.30$。 其平均利润（数学期望）为： $E(W_1)=10\times 0.35+15\times 0.35+20\times 0.30=3.5+5.25+6.0=14.75\text{ 万元}$

由(1)可知方案二的利润概率分布：

• 达不到灾前产量（${\xi }_2<1$）的概率：$P=0.30$；
• 恰好达到灾前产量（${\xi }_2=1$）的概率：$P=0.18$；
• 超过灾前产量（${\xi }_2>1$）的概率：$P=0.52$。 其平均利润（数学期望）为： $E(W_2)=10\times 0.30+15\times 0.18+20\times 0.52=3.0+2.7+10.4=16.1\text{ 万元}$

因为 $16.1>14.75$，所以实施方案二的平均利润更大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的规范书写；多状态下事件独立乘法公式应用；离散均值（期望）的决策导向作用。
2. 核心方法：列表穷举合并法。
3. 避坑指南：第一问在穷举所有乘积项后，务必注意检查概率总和是否严格等于 1。若出现相同取值（如方案一中的 $1.0$ 或方案二中的 $1.2$），必须在最终表格中将其概率合并，切勿分成两列书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的将概率统计知识与农业生产、风险决策相结合的题目，属于当年大纲卷中对离散变量和期望考查的标准经典构型。
2. 结论推广: 此模型属于风险型决策模型（Risk Decision Making）。在工程和商业管理中，面对多阶段、多概率波动的投资方案时，通过计算多级条件概率并以期望收益率（数学期望值）为衡量标准，是确立全局最优策略的无偏工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率