2008-浙江卷文-02 单-三角化简求周期

本题导读

本题先对函数化简：用平方和与二倍角公式把 $(\sin x+\cos x{)}^2+1$ 化成 $2+\sin 2x$，再求最小正周期。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 函数 $y=(\sin x+\cos x{)}^2+1$ 的最小正周期是()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{2}$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开 $(\sin x+\cos x{)}^2$，用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 与 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 化简。
2. 由 $\sin 2x$ 的最小正周期 $T=\pi$ 得原函数周期。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

$(\sin x+\cos x{)}^2+1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+1=1+\sin 2x+1=2+\sin 2x$。 函数 $\sin 2x$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，加常数不影响周期， 所以原函数的最小正周期为 $\pi$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变形与最小正周期

核心方法：平方展开后用二倍角公式化到 $\sin 2x$

避坑指南：加常数 $2$ 不改变周期；$(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x$，周期是 $\pi$ 而非 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江西卷文第 4 题、2010 湖北文第 2 题同考三角周期。

结论推广：$\sin (\omega x+\phi )$ 周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，与振幅、初相无关。

方法推广：先化简成单一三角函数再求周期，避免被平方项误导。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2010-浙江卷文-12 填-三角函数周期
• 2010-湖北卷文-02 单-正弦型函数的周期
• 2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期