2008-浙江卷文-16 填-向量模长范围

本题导读

本题由 $\mathbf{b}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=0$ 推出 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$，再由柯西不等式夹出 $|\mathbf{b}|⩽1$，并验证 $[0,1]$ 内每值都能取到。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知 $\mathbf{a}$ 是平面内的单位向量，若向量 $\mathbf{b}$ 满足 $\mathbf{b}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=0$，则 $|\mathbf{b}|$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 展开条件得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-|\mathbf{b}{|}^2=0$，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$。
2. 由柯西不等式 $|\mathbf{b}{|}^2=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}⩽|\mathbf{a}||\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$，得 $0⩽|\mathbf{b}|⩽1$。
3. 构造满足条件的向量验证每个 $t\in [0,1]$ 都能取到。

✅【答案】

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$[0,1]$

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-|\mathbf{b}{|}^2=0$，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$。 令 $t=|\mathbf{b}|⩾0$，由柯西不等式， $t^2=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}⩽|\mathbf{a}||\mathbf{b}|=t$，所以 $0⩽t⩽1$。 反之，对任意 $t\in (0,1]$，在平面内取与 $\mathbf{a}$ 垂直的单位向量 $\mathbf{c}$，令 $\mathbf{u}=t\mathbf{a}+\sqrt{1-t^2}\mathbf{c}$，$\mathbf{b}=t\mathbf{u}$。 则 $|\mathbf{u}|=1$，$|\mathbf{b}|=t$，且 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=t^2=|\mathbf{b}{|}^2$，满足题设条件；当 $t=0$ 时取 $\mathbf{b}=0$。 因此 $|\mathbf{b}|$ 的取值范围为 $[0,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积与向量模长范围

核心方法：条件化归为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$，柯西不等式夹逼

避坑指南：$\mathbf{a}$ 是单位向量即 $|\mathbf{a}|=1$；范围是闭区间 $[0,1]$，$0$ 也能取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 大纲Ⅱ文第 6 题、2010 浙江文第 13 题同考向量模长。

结论推广：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$ 型条件用柯西不等式夹模长。

方法推广：求范围要双向：先证上界，再构造说明每个值都可达。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2010-浙江卷文-13 填-向量垂直与模
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2010-重庆卷文-03 单-向量垂直坐标