2008-浙江卷理-11 填-向量

本题导读

本题考查三点共线的向量/斜率条件、一元二次方程的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $a>0$, 若平面内三点 $A(1,-a),B(2,a^2),C(3,a^3)$ 共线, 则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用三点共线转化为两两连线的斜率相等，即 $k_{AB}=k_{BC}$。
2. 结合坐标公式列出关于 $a$ 的方程，整除参数后利用求根公式求解，注意舍去负根。

✅【答案】

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$\sqrt{2}+1$

✍【详细解析】

Abstract

因为平面内三点 $A,B,C$ 共线，所以直线 $AB$ 的斜率与直线 $BC$ 的斜率相等，即 $k_{AB}=k_{BC}$。 根据斜率公式： $k_{AB}=\frac{a^2-(-a)}{2-1}=a^2+a$ $k_{BC}=\frac{a^3-a^2}{3-2}=a^3-a^2$ 令 $a^3-a^2=a^2+a⟹a^3-2a^2-a=0$。 因为 $a>0$，方程两边同除以 $a$ 得： $a^2-2a-1=0$ 解得 $a=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\times 1\times (-1)}}{2}=1\pm \sqrt{2}$。 又由 $a>0$，舍去负根 $1-\sqrt{2}$。 所以 $a=\sqrt{2}+1$。

故答案为：$\sqrt{2}。+1$ (或 $1+\sqrt{2}$)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三点共线充要条件（$k_{AB}=k_{BC}$ 或 $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$）；一元二次方程求根公式。
2. 核心方法：坐标斜率映射法。
3. 避坑指南：求根公式解出两个根后，必须代回隐含条件 $a>0$ 中校验，错填双解会直接导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材解析几何中直线斜率性质的延伸基础练习题。
2. 结论推广：对于横坐标成等差数列的三点 $(1,y_1),(2,y_2),(3,y_3)$，共线的充要条件是纵坐标也成等差数列，即 $2y_2=y_1+y_3$。代入本题即 $2a^2=-a+a^3$，可快速化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线