2008-湖北卷理-12 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的余弦定理应用。通过将余弦定理的变形公式代入所求式中，实现边角互化，从而简化代数式求解。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 在 $\Delta ABC$ 中，三个角 $A,B,C$ 的对边边长分别为 $a=3,b=4,c=6$，则 $bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用余弦定理写出 $\cos A,\cos B,\cos C$ 的边长表示形式。
2. 将其分别乘以系数 $bc,ca,ab$，消去分母。
3. 合并同类项化简整个代数式，最后代入已知边长数据。

✅【答案】

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$61$

✍【详细解析】

Abstract

根据余弦定理，有： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}⟹bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$ $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ca}⟹ca\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}⟹ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$

将上述三式相加得： $bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C=\frac{(b^2+c^2-a^2)+(a^2+c^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)}{2}$ $=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

代入已知数据 $a=3,b=4,c=6$： $\text{原式}=\frac{3^2+4^2+6^2}{2}=\frac{9+16+36}{2}=\frac{61}{2}$

正确答案为：$\frac{61}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的代数变形及其整体求和应用。
2. 核心方法：边角互化法，通过余弦定理消除多余的角度变量。
3. 避坑指南：切忌盲目把三个角的具体余弦值分别用繁琐的分数计算出来再进行乘加运算，直接整体化简公式可避免大量分数计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解三角形章节的经典恒等式变式。

2. 结论推广: 在任意 $\Delta ABC$ 中，恒有关系式：$bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2010-重庆卷文-18 解-余弦定理与三角变换
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形