2008-湖南卷文-07 单-向量数量积与余弦定理

本题导读

$\cos A=\frac{9+4-10}{2\times 3\times 2}=\frac{1}{4}$，$AB\cdot AC=6\times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$AB=3$，$AC=2$，$BC=\sqrt{10}$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=$()

A. $-\frac{3}{2}$　　　　　　B. $-\frac{2}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

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余弦定理 $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$，代入数量积公式.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\times AB\times AC}=\frac{9+4-10}{12}=\frac{1}{4}$. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A=3\times 2\times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与余弦定理

核心方法：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$，$\theta$ 由余弦定理的边角关系求出

避坑指南：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的夹角是 $\angle A$（共起点），不是 $\angle B$ 或 $\angle C$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与向量数量积的交汇基础题

结论推广：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos A$，$\cos A$ 由三边完全确定

方法推广：共起点向量的夹角就是几何夹角 $\angle A$；余弦定理是边角互化的枢纽

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2010-湖南卷文-07 单-余弦定理比边
• 2012-湖南卷文-08 单-余弦定理与面积求高
• 2014-湖南卷文-19 解-解三角形
• 2009-湖南卷文-14 填-解三角形范围