2008-湖南卷文-19 解-椭圆准线与对称点

本题导读

$c=2$，$\lambda =\frac{2a^2}{c}=a^2$，方程 $\frac{x^2}{\lambda }+\frac{y^2}{\lambda -4}=1$；圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 与椭圆有公共点 $⟺4\lambda -3{\lambda }^2⩾0$ 型判别式，得 $4<\lambda ⩽\frac{16}{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 $F(2,0)$，且两条准线间的距离为 $\lambda$（$\lambda >4$）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若存在过点 $A(1,0)$ 的直线 $l$，使点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点在椭圆上，求 $\lambda$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1)$\lambda =\frac{2a}{e}=\frac{2a^2}{c}$；(2)$F$ 关于过 $A$ 的直线对称得 $F^{\prime }$，$|A{F}^{\prime }|=|AF|=1$，$F^{\prime }$ 在圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 上；条件等价于该圆与椭圆有公共点.

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{\lambda }+\frac{y^2}{\lambda -4}=1$；(2)$4<\lambda ⩽\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，半焦距为 $c$，离心率为 $e$. 因为焦点为 $F(2,0)$，所以 $c=2$，且 $a^2-b^2=c^2=4$. 椭圆的两条准线分别为 $x=\frac{a}{e}$ 和 $x=-\frac{a}{e}$，故 $\lambda =\frac{2a}{e}=\frac{2a^2}{c}=a^2$. 从而 $a^2=\lambda$，$b^2=\lambda -4$. (1)椭圆的方程为 $\frac{x^2}{\lambda }+\frac{y^2}{\lambda -4}=1$. (2)设点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F^{\prime }$. 因为直线 $l$ 经过 $A$，反射保持点到 $A$ 的距离不变，所以 $A{F}^{\prime }=AF=1$，即 $F^{\prime }$ 在圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 上. 反过来，圆上任一点都可以取 $AF$ 与 $A{F}^{\prime }$ 的角平分线作为反射轴（当 $F^{\prime }=F$ 时取直线 $AF$），因此题设条件等价于该圆与椭圆有公共点. 由圆的方程得 $y^2=2x-x^2$，且 $0⩽x⩽2$. 代入椭圆方程，得 $\frac{x^2}{\lambda }+\frac{2x-x^2}{\lambda -4}=1$，即 $4x^2-2\lambda x+\lambda (\lambda -4)=0$. 该方程有实根的充要条件是 $\Delta =4\lambda (16-3\lambda )⩾0$.结合 $\lambda >4$，可得 $4<\lambda ⩽\frac{16}{3}$. 还需验证此范围内的根确实给出圆上的点.当 $4<\lambda ⩽\frac{16}{3}$ 时，方程的根为 $x=\frac{\lambda \pm \sqrt{\lambda (16-3\lambda )}}{4}$. 由 $\lambda >4$ 可知较小的根大于 $0$，而 $\lambda (16-3\lambda )⩽(8-\lambda {)}^2$，所以较大的根不超过 $2$. 因而至少有一个根属于 $[0,2]$，此时 $y^2=x(2-x)⩾0$，公共点确实存在. 综上，$\lambda$ 的取值范围为 $4<\lambda ⩽\frac{16}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的准线与对称点存在性

核心方法：准线间距离 $\lambda =\frac{2a^2}{c}$；对称条件化为”圆与椭圆有公共点”，判别式加根的范围双验证

避坑指南：由 $\Delta ⩾0$ 只得”方程有实根”，还需验证根落在 $[0,2]$ 内（圆上的点 $x$ 有限制）；$\lambda >4$ 保证 $b^2>0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆准线与反射对称的存在性探究题（本卷解答压轴之一）

结论推广：$\lambda =\frac{2a^2}{c}$ 联通准线与基本量；“存在对称轴”化为”圆与椭圆有公共点”是构造性转化

方法推广：存在性问题两层验证：判别式给”方程有根”，根的范围给”点在曲线上”——缺一不可

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2010-湖南卷文-19 解-椭圆定义与等比应用
• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线