2008-湖南卷理-15 填-古典概型

本题导读

本题是一道构思精巧的概率组合填空压轴题。第一问通过两子总体的完全独立抽取计算特定两元素的相遇概率；第二问如果采用常规穷举法会陷入巨大的计算泥潭，巧妙借助组合数学中“总对偶对数恒定”的整体期望思想可瞬间破题。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 对有 $n$ ($n\ge 4$) 个元素的总体 $\{1,2,3,\dots ,n\}$ 进行抽样，先将总体分成两个子总体 $\{1,2,\dots ,m\}$ 和 $\{m+1,m+2,\dots ,n\}$ ($m$ 是给定的正整数，且 $2\le m\le n-2$)，再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本.用 $P_{ij}$ 表示元素 $i$ 和 $j$ 同时出现在样本中的概率，则 $P_{1n}=$ $\underline{}$；所有 $P_{ij}$ ($1\le i<j\le n$) 的和等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：元素 1 属于第一个子总体（容量 $m$），元素 $n$ 属于第二个子总体（容量 $n-m$）。由于两子总体的抽取过程相互独立，分别计算出它们被抽中的概率，再用乘法公式相乘。
2. 第二问：理解 $\sum P_{ij}$ 的组合几何含义。利用指示变量的数学期望性质，所有配对概率的总和在数值上恒等于“最终样本中所含有的元素对（两两组合）的总个数的数学期望”。由于每次抽取的最终样本元素数恒定，其配对数也必为常数。

✅【答案】

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$\frac{4}{m(n-m)}；6$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)第一个子总体共有 $m$ 个元素，随机抽取 2 个，元素 1 被抽中的概率为： $P(1)=\frac{{\mathrm{C}}_{m-1}^1}{{\mathrm{C}}_m^2}=\frac{m-1}{\frac{m(m-1)}{2}}=\frac{2}{m}$ 第二个子总体共有 $n-m$ 个元素，随机抽取 2 个，元素 $n$ 被抽中的概率为： $P(n)=\frac{{\mathrm{C}}_{n-m-1}^1}{{\mathrm{C}}_{n-m}^2}=\frac{n-m-1}{\frac{(n-m)(n-m-1)}{2}}=\frac{2}{n-m}$ 由于两个子总体的抽样过程是相互独立的，所以元素 1 和 $n$ 同时出现的概率为： $P_{1n}=P(1)\times P(n)=\frac{2}{m}\times \frac{2}{n-m}=\frac{4}{m(n-m)}$

(2)根据概率与期望的线性性质，每个 $P_{ij}$ 是元素 $i$ 和 $j$ 同时被选中的概率，也可以看作该配对被选中次数的数学期望。 因此，所有可能配对的概率之和 ${\sum }_{1\le i<j\le n}{P}_{ij}$，在数值上等于最终抽出的样本中能够构成的元素对的总个数的期望值。

无论具体抽到了哪四个元素，由于每次从两个子总体中各取 2 个，最终得到的样本集内必定有且仅有 $2+2=4$ 个互不相同的元素。 这 4 个元素在样本内部相互配对，所能构成的不同无序元素对 $(i,j)$ 的个数是固定不变的，即： ${\mathrm{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2}=6$ 因为任何一次随机抽样结果所包含的配对数都绝对恒等于 6，所以其数学期望值也必然为 6。 即所有 $P_{ij}$ 的和等于 6。

正确答案为：$\frac{4}{m(n-m)}$ ； 6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型组合计数公式；独立事件的概率乘法定理；宏观期望的“算两次”守恒原理。
2. 核心方法：期望转化法。把局部复杂的概率求和转化为全局守恒的样本对数计数。
3. 避坑指南：第二问千万不要分“同组配对”和“异组配对”去进行极其冗长复杂的代数通化求和，这样极易在化简多项式（如包含 $m$ 和 $n-m$ 的分式）时因计算量过大而崩溃。善于从整体样本容量（恒为4个元素）的宏观视角进行破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等组合数学中超几何分布及其联合概率矩阵背景。通过将全集分块抽样，考查概率算子在离散结构下的可加性。
2. 结论推广: 若将总体分成 $k$ 个子总体，从第 $r$ 个子总体中各抽取 $m$ 个元素组成总样本，则所有元素对同时出现的概率之和 $\sum P_{ij}$ 恒等于 ${\mathrm{C}}_{km}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算
• 2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式