2008-重庆卷文-06 单-指数型反函数

本题导读

$0<x⩽1$ 给出值域 $10^{-1}<y⩽1$；反函数 $y=\sqrt{1+\lg x}$，定义域 $\frac{1}{10}<x⩽1$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 函数 $y=10^{x^2-1}$（$0<x⩽1$）的反函数是()

A. $y=-\sqrt{1+\lg x}$（$x>\frac{1}{10}$）　　　　　　　　　　B. $y=\sqrt{1+\lg x}$（$x>\frac{1}{10}$）

C. $y=-\sqrt{1+\lg x}$（$\frac{1}{10}<x⩽1$）　　　　　　　　　　D. $y=\sqrt{1+\lg x}$（$\frac{1}{10}<x⩽1$）

🔍【思路分析】

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两步锁定选项：反解出 $x=\sqrt{1+\lg y}$ 取正根排除 A、C；定义域是原函数值域 $(\frac{1}{10},1]$ 排除 B.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=10^{x^2-1}$，得 $\lg y=x^2-1$，即 $x^2=1+\lg y$．因为 $0<x⩽1$，所以 $x=\sqrt{1+\lg y}$．又 $0<x⩽1$ 时，$-1<x^2-1⩽0$，故原函数的值域为 $\frac{1}{10}<y⩽1$，即反函数的定义域为 $\frac{1}{10}<x⩽1$．所以反函数为 $y=\sqrt{1+\lg x}$（$\frac{1}{10}<x⩽1$）．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型函数的反函数

核心方法：指对互化解 $x$，定义域取原函数值域

避坑指南：$x^2=1+\lg y$ 开方要按原定义域 $0<x⩽1$ 取正根；反函数定义域是 $\left(\frac{1}{10},1\right]$ 而非 $x>\frac{1}{10}$，端点 1 能取到

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数对数型反函数，反函数考法的主体题型

结论推广：$y=a^{f(x)}$ 型反函数先指对互化再解 $x$，注意 $f(x)$ 不单调时定义域截断

方法推广：反函数定义域 = 原函数值域，先算值域再写定义域，顺序不能反

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-07
• 2009-湖北卷理-02
• 2015-重庆卷文-03 单-对数函数